Орташа арифметикалық


Орташа арифметикалық  - берілген топтағы түрлердің белгілерінің орташа шамасының көрсеткіші, ол осы белгінің орташа вариациясымен сипатталады.

 Орташа арифметикалық – абстракты сан. Егер масақтағы  дәннің  орташа сандық көрсеткіші тең болса 5, 7, онда бұндай сан орташа шаманы сипаттайды, бірақ шын мәнінде 5,7 дәннің болуы мүмкін емес.

   Орташа арифметикалық (егер іріктеу көпсанды болмаса) төмендегі формуламен есептелінеді:

, или          (2)

Мұнда - орташа арифметикалық;

 - варианта шамасы;

n –варианта саны;

(сигма) – қосынды белгісі (сумма).

Мысал. Қойдың жас төлінің тері эпидермисінің қалыңдығы  28; 27,2; 19,6; 25,2; 18,5 (мкм) құрайды:  

Үлкен (n>30) орташа  араифметикалықты есептеу үшін шартты орташа формуласын қолданып, вариациалық қатар әзірлеп кесте құру керек:

А+bK,                                                 (3)

мұнда  - орташа арифметикалық;

А – шартты орташа;

b – шартты орташадан орташа ауытқу;

К – класс аралық шама.

Мысал. 100 шошқаның торайлар санының орташа санын есептеу керек. Туылған торайлар санының вариациалық қатары төмендегідей:

w                p

8                 1

9                 4

10              19

11              34

12              27

13              11

14                4

Бірінші вариация санынан шартты орташаны таңдап алады, ол А әрпімен белгіліленген. Әдетте вариантаның үлкен саны кіретін класстың ортасы алынады. Бұл жағдайда 11 санымен берілген вариация болады да,  маңына А әрпін қоямыз.

Осыдан кейін қандай класс аралық санға (минус немесе плюс жағына) әрбір класстан классқа ауытқитындығын шартты орташа деп қабылдайтындығымыз бекітіледі. Бұл ауытқулар, а әрпімен белгіленіп, вариациялық қатарға параллельді бағандарға жазылады; олар әртүрлі жиілік санына жатқызылады, сондықтанда орташа ауытқуды (b)  табу үшін шартты орташадан әрбір жиілігі сай келетін ауытқуға көбейтіп  (р на а) және туындыны сол және басқа да белгісімен ауытқуға параллель бағанға жазу керек. Сосын ауытқудың туынды жиілігінің алгебралық қосындысын жүргіземіз, яғни ра  анықталады. Берілген мысалда ра =31. Осыдан орташа ауытқу шамасы шартты орташадан бір вариантаға өтуі анықталады.

 

 

W

P

а

Ра

 

 

 

А

 

8

9

10

11

12

13

14

1

4

19

34

27

11

4

-3

-2

-1

0

+1

+2

+3

-3

-8

-19

0

+27

+22

+12

                        n=100

ра = 31

 

Орташа ауытқуды шартты орташадан мына формула бойынша есептейді:

                                (4)

Біздің мысалда  b=0,31.

Енді нақты орташа арифметикалықты формуласын қолдана отырып есептейміз:

А+bK

11+0,31х1=11,31.

Өлшенген орташа арифметикалық өз алдында бірнеше жиынтықтан тұратын орташалау арифметикалықтан тұрады. Ол мына формуламен шығарылады:

,                (5)

мұнда  - бірнеше жиынтықтың орташа арифметикалығы;

n – осы жиынтықтардың салмағы (көлемі).

Мысал. Жеке отардағы қойлардың  жүн талшығының жіңішкелігінің (мкм)  орташа арифметикалық көрсеткіштері () бар  және осы отардағы қойлардың саны (n). Қойлардың жүн талшығының жіңішкелігінің орташа арифметикасын есептеу қажет.

Қойлардың жүн талшығының жіңішкелігінің өлшенген орташа арифметикасын мына кесте арқылы жүргіземіз:

№ отар

N

· n

1

2

3

4

5

20

22

25

18

24

210

150

240

100

300

4200

3300

6000

1800

7200

 

      1000

   22500

 

= .

Тапсырма 1. Екі құс фабрикасында жұмыртқа салушы тауықтардың саны 20000-нан 28200 басты құрайды, олардың орташа жұмыртқа салуы 294 және 280 дана. Екі құс фабрикасындағы орташа жұмыртқа салу мөлшерін анықтаңыз.

Тапсырма 2. 60 адай биелерінің таза салмағы бойынша мына мәліметтерден орташа арифметикасын табыңыз:

463  424  573  481  471  425  470  492  480  490

450  490  489  445  520  375  510  400  475  512

449  476  516  460  480  500  530  480  463  490

510  520  430  450  490  460  520  455  480  461

482  451  480  451  480  499  525  475  480  453

519  490  480  491  514  498  490  460  491  475

 

Бақылау сұрақтары.

1.    Орташа арифметика қалай сипатталады және ол үлкен варианта санынан қалай анықталады?

2.    Орташа арифметиканың мағынасы басты жиынтықта мөлшермен қалай тербеледі?

3.    Орташа өлшенген дегеніміз не? Ол қандай жағдайларда қолданылады және оны қалай есептейді?

4.    Орташа шаманы атаңыз және оны қалай қолданамыз?

5.    Орташа шама қандай қасиеттермен ерекшеленеді?