Орташа квадраттық ауытқулар


Орташа квадраттық ауытқу (σ) орташа ауытқудың қаншалықты белгілері бойынша әр мүше жиынтығында орташа арифметикалық осы жиынтықтың негізгі өзгергіштік критериі болып табылады. σ шамасы әрқашан атаулармен (кг, см % және т.б.) және ол орташа арифметикалыққа қарағанда бір бірлікке дәл келіп отырады. Егер екі іріктеу мағынасы бойынша орташа арифметикасы бір – бірінен айырмашылықсыз болса, онда арифметикалық орташа квадраттық ауытқуы негізгі белгінің өзгеруін анықтауда үлкен мүмкіндік береді. Мысалы, бірінші және екінші аң шаруашылықтарында құндыздардың орташа тірі массасы бірдей болып шықты. Генетикалық дәрежедегі әртүрлі құндыздардың тірі массасы бірінші шаруашылыққа қарағанда екінші шаруашылықта екі есе жоғары болғандығын орташа арифметикалық ауытқу анализі көрсетеді. Яғни, екіші шаруашылық зерттеліп отырған белгісі бойынша біртекті.

Берілген белгінің өзгеру серпіндісінің лимит көрсеткіші – вариациалық қатардың шеткі шамалары. Бірақ шеткі варианталар вариациалық қатар ішіндегі қалған варианталардың таралуын көрсетпейді, яғни лимиттер өзгеру дәрежесінің көрсеткіші болып табылмайды.

Өзгеру дәрежесі, вариациалық қатардағы варианталардың таралуы өзгергіштіктің негізгі көрсеткіші  орташа квадраттық ауытқумен сипатталады, ол мына формула бойынша есептелінеді:

 σ= ,              (6)

мұнда σ (сигма)– орташа квадраттық ауытқу;

D – орталық ауытқу, яғни орталық арифметикадан вариантаның ауытқуы

 (D=х-)

Берілген формула егерде іріктеу сандары аз болғанда қолданылады.

Мысал. Екі шаруашылықтағы сиырлардың жоғарғы тәуліктік сауыны:

1 шаруашылықта –10, 14, 17, 20, 23, 25, 28, 31, 34, 38,  = 24 кг;

       2 шаруашылықта –10, 21, 22, 23, 24, 24, 25, 26, 27, 38 , = 24 кг. құрайды. Орташа квадраттық ауытқуды есептеңіз (σ):

1 шаруашылық

2 шаруашылық

Х

х-

(х-)

х

х-

(х-)

10

14

17

20

23

25

28

31

34

37

-14

-10

-7

-4

-1

+1

+4

+7

+10

+14

196

100

49

16

1

1

16

49

100

196

10

21

22

23

24

24

25

26

27

38

-14

-3

-2

-1

0

0

+1

+2

+3

+14

196

9

4

1

0

0

1

4

9

196

 

 

 ,            ,

σкг,   σкг.

Бірінші шаруашылықта сауынның жоғары тәуліктік өзгеруі екіншіге қарағанда күштірек және сауынның σ артық.

Орташа квадраттық ауытқуды (σ) есептегенде саны көп іріктеулерде вариациалық қатар құрылып есептеу мына формула арқылы жүргізіледі:

 σ =,                 (7)

мұнда - қосынды белгісі;

р – жиіліктер;

а – орташа шарттыдан қаншалықты класаралыққа тұрып қалғандығын көрсететін шама;

К – класаралық шама;

n – варианта жиілігі.

Орташа квадраттық ауытқуды есептеу орташа арифметикалықты үйлесімді есептеу арқылы жүргізіледі. Бұл үшін х есептегендей іріктеу қажет;  және қосымша анықтау жүргізу керек. Содықтан да жазылған жиілік бағанын (р)  есептеуде, ауытқуларда (а) олардың туындылары (Ра)  және туынды жиіліктерінің квадраттық ауытқулары  келесі бағандарға жазылады. Содан кейін олардың қосындысы табылып, яғни     анықталады.

 Ағза топтарындағы зертелінетін белгілердің өзгергіштігі орташа квадраттық ауытқулар өзгергіштігінің дәрежесін көрсетеді: σ  неғұрлым  көп болса, соғұрлым өзгергіштікте көп болады, керісінше  неғұрлым σ аз болса, соғұрлым өзгергіштікте аз болады. Орташа квадраттық ауытқулар сондай-ақ тербеліс серпінділігін көрсетеді. Әдетте бұл серпінділік    тең келуі мүмкін, яғни варианта санының басымдылығы   ± 3σ от   шекарасына орналасады.

Вариациалық қатарда, маңызды  саны бойынша құрылған біртекті варианталар жеткілікті, олар шекараларда орналасады:

± 1,0 σ……………………………. 68,3% барлық варианта

± 1,5 σ……………………………. 86,6% барлық  варианта

± 2,0 σ……………………………. 95,5% барлық варианта

± 2,5 σ……………………………. 98,8% барлық варианта

± 3,0 σ……………………………. 99,7% барлық варианта

Орташа квадраттық ауытқулар жеке варианталардың сипатталуына мүмкіндік береді. Егер қандайда варианта    дан  ± 3σ  ауытқыса, онда бұл варианта (особь) басқа вариациалық қатарға, яғни басқа сапалы категорияға жататындығы әбден ықтимал.

Тапсырма 1. Жаңа туылған өгізшелердің тірі салмағының орташа квадраттық ауытқуын төмендегі мәліметтер бойынша есептеп шығарыңыз:

45   47  44  36  56  45  40  33  45  46  32  46  32  46  42  42

49   38  46  48  38  40  40  45  49  45  50  40  49  43  37  46 

37  43  44  43  39  45  45  37  47  52  60  34  40  39  54  44

      43  42  44  45  50  53  38  44  40  38  43  41  37  44  45  41

      43  40  42  37  47  31  51  48  50  46  59  43  45  47  46  50 

      36  37  44  41  36  36  38  43  38  40  52  40  44  52  46  61

     46  38  38  45  46  40  45  50  41  45  40  37  45  46  32  55

     45  45  40  37  53  50  45  44  50  50  40 48  48   45  32  36

 Тапсырма 2. Тәуліктік өсу іріктеуінің оташа арифметикалық, орташа квадраттық ауытқуларын  берілген мәліметтер бойынша анықтау:

691  587  722  812  573  750  700

660  520  640  650  750  630  650

 Тапсырма 3. Шаруашылықта 1500 маржан түсті және 2100 қоңыр түсті құндыздар болған. Маржан түсті түрлерінің орташа квадраттық ауытқу шамасын анықтаңыз.

Бақылау сұрақтары.

1. Кіші іріктеудегі орташа квадраттық ауытқуды қалай есептейді?

2. Егер зерттеліп отырған белгілердің орташа арифметикалық және орташа квадраттық ауытқуларының шамасы белгілі болғанда, олардың максимальді және минимальді мағынасын анықтауға бола ма?

3. Белгілердің әртүрлілігі қандай көрсеткіштермен сипатталады?