Средняя арифметическая


Цель. Знакомство с методами вычисления основных биометрических показателей количественных признаков на малых и больших выборках.

Средняя арифметическая – показатель средней величины признака данной группы особей, характеризующий среднюю вариацию этого признака.

Средняя арифметическая – абстрактное число. Если среднее количество зерен в колосьях оказалось равным 5,7, то такое число точно характеризует среднюю величину, хотя в действительности существование 5,7 зерен невозможно.

Средняя арифметическая (если выборка немногочисленна) вычисляется по следующей формуле:

, или          (2)

где  - средняя арифметическая;

 - величина варианты;

n – численность вариант;

(сигма) – знак суммирования (сумма).

Пример. Толщина эпидермиса в коже молодняка овец составляет (мкм): 28; 27,2; 19,6; 25,2; 18,5.  

Для вычисления средней арифметической для больших выборок (n>30) необходимо оформить вариационный ряд в таблицу, с использованием условной средней по формуле:

А+bL,                                                 (3)

где  - средняя арифметическая;

А – условная средняя;

b – среднее отклонение от условной средней;

L – величина классового промежутка.

Пример. Требуется вычислить среднее количество поросят на один опорос у 100 свиноматок. Вариационный ряд количества родившихся поросят следующий:

Сначала из числа вариаций выбирают условную среднюю, обозначаемую буквой А. В качестве таковой обычно берут значение середины того класса, в который входит наибольшее число вариант. В данном случае это будет вариация, выраженная числом 11, около которой ставим букву А.

Затем устанавливается, на какое количество классовых промежутков (в сторону минус или плюс) отклоняется каждый класс от класса, принятого за условную среднюю. Эти отклонения, обозначаемые буквой а, выписываются столбцом, параллельно вариационному ряду; они относятся к разному количеству частот, поэтому для установления среднего отклонения (b) от условной средней необходимо каждую частоту умножить на соответствующее отклонение (р на а) и произведения с тем или иным знаком выписать столбцом параллельно отклонению. Далее производится алгебраическое суммирование произведений частот на отклонение, то есть определяется ра. В данном примере ра =31. Затем определяется величина среднего отклонения от условной средней, приходящаяся на одну варианту. Вышеизложенное можно представить в следующем виде:

Среднее отклонение от условной средней вычисляет по формуле:

(4)

В нашем примере b=0,31.

Теперь вычисляем истинную среднюю арифметическую , используя формулу:

А+bL

11+0,31х1=11,31.

Взвешенная средняя арифметическая представляет собой результат усреднения средних арифметических нескольких совокупностей. Она вычисляется по формуле:

,   (5)

где  - средняя арифметическая нескольких совокупностей;

n – вес (объем) этих совокупностей.

Пример. Имеются средние арифметические () показатели тонины шерсти (мкм) отдельных отар овец и количество овец в этих отарах (n). Требуется вычислить среднюю арифметическую тонины шерсти всех овец.

Вычисление взвешенной средней арифметической тонины шерсти овец производится следующим образом:

 

= .