Биномиальное распределение


Цель. Знакомство с характером биномиального распределения, биномиальные коэффициенты.

Распределение членов совокупности по альтернативным признакам называется биномиальным. Оно отражает распределение особей по дискретным (прерывистым) признакам). Характеристикой биномиального распределения служат средняя арифметическая варьирующего признака: 

,               (29)

и среднее квадратическое отклонение

,              (30)

где n – объем выборки;  R – число субвыборок; p и q – частоты появления каждого альтернативного признака; х – показатель числа классов альтернативного признака.

При биномиальном распределении частоты (вероятности) появления данного альтернативного признака учитываются, как и при распределении Пуассона, на независимых друг от друга субвыборках. Вероятность появления признака А обозначим р, а вероятность появления признака противоположного (альтернативного) состояния А–q. Закон биномиального распределения выражается формулой (.  Коэффициенты расположения бинома будут указывать на вероятность альтернативного признака; их можно определить, используя треугольник Паскаля, в котором каждая цифра получается суммированием двух стоящих над ней.

Из треугольника Паскаля следует, что коэффициенты бинома начинаются с единицы и закономерно возрастают до определенного предела, а затем в такой же последовательности уменьшаются до единицы; для каждой степени бинома общее число коэффициентов равно n+1; сумма всех биномиальных коэффициентов для любой степени бинома равна 2.

Таблица 3.1.1

 

n

Биномиальные коэффициенты

2

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

                                             1

                                        1        1

                                   1       2         1

                               1        3       3       1       

                          1        4        6      4       1

                      1       5        10     10     5       1

                  1      6        15    20      15      6      1

              1       7       21     35     35      21     7      1

          1    8       28       56     70      56     28     8      1

      1     9      36     84      126    126    84     36     9      1

  1     10    25    120    210    252    210   120    45    10   1 

 

2

4

8

16

32

64

128

256

512

1024

 

Таким образом, характер биномиального распределения не изменится от того, как будут выражены результаты испытаний – в значениях вероятности или в абсолютных значениях частоты ожидаемого результата. В том и другом случае закон распределения выражает зависимость между частотой ожидаемого результата и числом независимых испытаний, проведенных в отношении данного события А, причем частота появления ожидаемого события в n независимых испытаний определяется его вероятностью, которая остается постоянной в каждом отдельном испытании.

Для расчета теоретических частот по биномиальному закону служит следующая формула:

Р=N(p+q)n-1 или р= 100(qpK),     (31)

р – эмпирическая вероятность, или доля среднего результата, определяемая по формуле р=, где  - средняя арифметическая, а - сумма частот эмпирического ряда, или объем выборки;  q=1-p, а К – соответствующий коэффициент биномиального ряда (1+1)n-1.