Дифференциальные уравнения равновесия жидкости


Дифференциальные уравнения равновесия жидкости опубликованы действительным членом Российской академии наук Леонардом Эйлером в 1775 году.

Пусть в точке «А», взятой в массе покоящейся жидкости, действует гидростатическое давление р. Опишем вокруг точки «А» элементарный параллелепипед со сторонами параллельными координатным осям и соответственно равными dx, dy и dz так, чтобы точка «А» располагалась на пересечении диагоналей. Тогда расстояние от точки до граней по оси x будет dx/2, по оси y – dy/2, а по оси z – dz/2.

Так как  в покоящейся жидкости давление не изменяется со временем, то давление р является функцией только координат . При переходе от точки «А» к точкам, лежащим на левой или правой гранях параллелепипеда изменяется лишь координата x на бесконечно малую величину dx/2, в связи с чем давление плавно и непрерывно изменяется и интенсивность этого изменения будет определяться градиентом давления равное частному дифференциалу .  С учетом этого давление на левой грани параллелепипеда будет равно , а на правой – .

Поверхностные силы давления на этих гранях будут соответственно равны

 и .

Проекция суммарной массовой силы на ось x будет равна .

Аналогичным образом, но через градиенты давления и  выразим поверхностные и массовые силы, действующие на параллелепипед в направлении двух других осей.

На выделенный параллелепипед действуют только указанные массовые силы  и силы давления, поэтому уравнения равновесия этих сил в направлениях трех координатных осей можно записать в следующем виде

,                                     (2.4)

или после несложных преобразований, разделив каждое слагаемое на массу параллелепипеда , получим систему трех уравнений, которые называют уравнениями Эйлера

(2.5)

Умножив первое из уравнений (2.4) на dx, второе – на dy, третье – на dz и, сложив их, получим одно из важных уравнений гидростатики .

 При  трехчлен, заключенный в скобках, представляет собой полный дифференциал давления, поэтому предыдущее уравнение примет вид

.                                                (2.6)

Полученное уравнение называют основным уравнением гидростатики в дифференциальной форме. Сумма слагаемых в скобках представляет собой силовую функцию, вид которой определяют для каждого конкретного случая, в зависимости от прилагаемых к системе сил.