Вычисление дисперсии однофакторного комплекса при малой выборке


Цель. Знакомство с методами вычисления дисперсии однофакторного комплекса

Дисперсионный комплекс называется однофакторным, если испытывается действие на признак одного регулируемого фактора. Однофакторные дисперсионные комплексы могут быть равномерными и неравномерными. Независимо от этого техника дисперсионного анализа однофакторных комплексов сводится главным образом к расчету показателей варьирования.

Для вычисления общей дисперсии (Су) пользуются следующей формулой:

Су=∑v2 – Н, Н – промежуточная величина, она равняется: (53)

Остаточную дисперсию (Сz) вычисляют по формуле:

Cz= ∑v2 –∑hx, где ∑hx (54)

Факториальную дисперсию (Сх) вычисляют по формуле:

Сх=∑hx-Н. (55)

Пример. Влияние возраста матерей на живую массу телят при рождении. Порядок вычисления и необходимые данные приведены в таблице 6.1.1

Таблица 6.1.1 Обработка однофакторного комплекса при малой выборке

Показатели

Полновозрастные матери

Возраст матерей 31-36 мес.

Возраст матерей 25-30 мес.

v (живая масса при рождении)

35, 36, 40, 38, 43, 42

38, 32, 40, 34, 35, 31

35, 37, 30, 31, 32

609

v2

1225, 1296, 1600, 1444, 1849, 1764

1444, 1024, 1600, 1156, 1225, 961

1225, 1369, 900, 961, 1024

22067

n

6

6

5

17

v

234

210

165

609

(∑v)2

2342=54756

44100

27225

-

∑hx

9126

7350

5445

21921

39

35

33

35,8

Для вычисления промежуточной величины Н используются сводные показатели таблицы 6.1.1, строчки 4 и 3.

=

Дисперсии Су, Сх, Сz вычисляются по вышеприведенным формулам, подставляя в них данные из таблицы:

Су=22067-21817=250;

Сх=21912-21817=104;

Сz=22067-21921=146.

Проверка правильности подсчетов производится суммированием: Сухz, т.е. 104+146=250. В данном случае подсчеты сделаны правильно.

Степень (доля) влияния разных факторов на варьирующий признак определяется отношением между дисперсиями Сх и Су, Сz и Су; обозначают эти отношения через ŋ2. Так, доля влияния учтенных факторов равняется ŋ2х=, а для неучтенных факторов ŋ2z=.

В нашем примере доля учтенных факторов равняется:

или 41,5 %.

Доля неучтенных факторов равняется:

или 58,5 %.

Достоверность факториальной дисперсии, то есть достоверно ли влияние и доля влияния фактора на изменчивость признака определяется коэффициентом достоверности Фишера (F). Для вычисления коэффициента Фишера необходимо определить число степеней свободы (ν) и корректированную дисперсию – девиату (σ2).

Число степеней свободы для факториальной дисперсии (Сх) равно числу классов () по фактору минус единица.

νх =х-1; в нашем примере =3-1=2.

Для остаточной дисперсии (Сz) число степеней свободы равно численности выборки (n) минус число классов ().

νz = n-х; в нашем примере =17-3=14.

Число степеней свободы для общей дисперсии (Су) равно численности выборки (n) без единицы.

νz = n-1; в нашем примере =17-1=16.

Корректированную дисперсию или девиату (σ2) (факториальную и остаточную) вычисляют делением дисперсии на соответствующее число степеней свободы.

Факториальная девиата равна: σ2х=; в нашем примере σ2х=

Остаточная девиата равна: σ2z=; в нашем примере σ2z=

Коэффициент достоверности Фишера вычисляется делением факториальной корректированной дисперсии (девиаты) на остаточную корректированную дисперсию.

; в нашем примере F=5,5.

Вычисленное значение F сравнивают с табличным значением F. Табличное значение F для данного примера при трех уровнях вероятности равно:

F0,95=3,7; F0,99=6,5; F0,999=11,8.

В нашем примере вычисленное F равно 5,5, следовательно влияние возраста матерей на живую массу телят при рождении достоверно, при уровне вероятности р=0,95.