Среднее квадратическое отклонение


Цель. Знакомство с методами вычисления основных биометрических показателей количественных признаков на малых и больших выборках.

Основным критерием изменчивости является среднеквадратическое отклонение (σ), которое показывает, насколько в среднем отклоняется по изучаемому признаку каждый член совокупности от средней арифметической этой совокупности. Величина σ всегда именованная (кг, см, % и т.п.) и вычисляется на одну единицу точнее, чем средняя арифметическая.

Определение среднего квадратического отклонения позволяет выявить особенности варьирования признака, если две выборки по значению средних арифметических друг от друга не отличаются. Предположим, что в первой и во второй звероводческих хозяйствах средняя живая масса норок оказалась одинаковой. Анализ среднего квадратического отклонения показывает, что степень генетического разнообразия живой массы норок первого хозяйства в два раза выше, чем во втором. Значит второе хозяйство более однородно по изучаемому признаку.

Крайние величины вариационного ряда – лимиты показывают размах варьирования данного признака. Но крайние варианты не показывают, как распределяются остальные варианты внутри вариационного ряда, то есть лимиты не являются показателями степени варьирования.

Степень варьирования, распределение вариант в вариационном ряду характеризует основной показатель изменчивости (варьирования) – среднее квадратическое отклонение, которое вычисляется по формуле:

 σ= ,              (6)

где σ (сигма)– среднее квадратическое отклонение;

D – центральное отклонение, то есть отклонение варианты от средней арифметической (D=х-)

Данная форму применяется если выборка немногочисленна.

Пример. Высший суточный удой у коров двух хозяйств составил (кг): 1 хозяйство – 10, 14, 17, 20, 23, 25, 28, 31, 34, 38,  = 24 кг; 2 хозяйство – 10, 21, 22, 23, 24, 24, 25, 26, 27, 38 , = 24 кг. Вычислить среднее квадратическое отклонение (σ).

 

1 хозяйство

2 хозяйство

х

х-

(х-)

х

х-

(х-)

10

14

17

20

23

25

28

31

34

37

-14

-10

-7

-4

-1

+1

+4

+7

+10

+14

196

100

49

16

1

1

16

49

100

196

10

21

22

23

24

24

25

26

27

38

-14

-3

-2

-1

0

0

+1

+2

+3

+14

196

9

4

1

0

0

1

4

9

196

 

 

 

,            ,

σкг,   σкг.

В первом хозяйстве варьирование высшего суточного удоя сильнее, чем во втором, и σ этого удоя также больше.

При вычислении среднего квадратического отклонения (σ) для многочисленных выборок составляется вариационный ряд и вычисление производится по формуле:

σ =,                 (7)

где - знак суммирования;

р – частоты;

а – величина, показывающая на сколько классовых промежутков отстоит данный класс от условной средней;

К – величина классового промежутка;

n – численность варианта.

Вычисление среднего квадратического отклонения производится аналогично вычислению средней арифметической. Для этого требуются те же величины, что и для вычисления ; дополнительно необходимо произвести определение  и . Поэтому к записанным уже при вычислении  столбцам частот (р), отклонений (а), их произведений (Ра) следующим столбцом записываются произведения частот на квадраты отклонения . Затем производится их суммирование, то есть определяется .

Среднее квадратическое отклонение показывает степень варьирования (изменчивости): чем больше σ, тем больше изменчивость и, наоборот, чем меньше σ, тем меньше изменчивость изучаемого признака в группе организмов.

Среднее квадратическое отклонение показывает также размах колебания. Обычно этот размах приблизительно равен 3σ, то есть подавляющее количество вариант укладывается в границах ± 3σ от .

В вариационному ряду, составленном по значительному количеству достаточно однородных вариант, они располагаются в границах:

Среднее квадратическое отклонение дает возможность судить о характере отдельных вариант. Если какая-либо варианта отклоняется от  несколько дальше ± 3σ, то большая вероятность того, что эта варианта (особь) принадлежит к другому вариационному ряду, то есть к другой качественной категории.