Другие степенные средние


Цель. Знакомство с методами вычисления основных биометрических показателей количественных признаков.

В некоторых  случаях при вычислении средней величины используют не абсолютные значения варьирующего признака, а обратные числа отдельных вариант.  Получаемая при этом характеристика называется средней гармонической  и обозначается символом Н. Средняя гармоническая, как и другие средние, может быть простой и взвешенной. Простая средняя гармоническая представляет отношение объема выборки к сумме обратных значений признака:

,                     (12)

взвешенная средняя гармоническая выражается следующей формулой:

,              (13)

где  - варианты признака;

n – число вариант;

 - частоты.

Средняя гармоническая применима при вычислении среднего уровня признака, характеризующего скорость какого-либо процесса (средняя скорость бега, скорость молокоотдачи при доении), а также в случае, если признак выражен индексом (число шерстинок на 1 ммповерхности кожи).

Величина Н всегда меньше величины .

Пример. Пять доярок в течение часа ручным способом надоили следующее количество молока: первая – 10 л, вторая – 20, третья – 25, четвертая – 30 и пятая – 20 л, всего 105 л. Сколько времени в среднем затрачивает доярка на выдаивание 1 л молока?

Решая эту задачу с помощью средней арифметической, получаем =105/5=21 л. Следовательно, на выдаивание 1 л молока затрачивается в среднем 60:21=2,86 мин. Однако этот расчет недостаточно точен, так как фактически на выдаивание 5 л молока затрачено в среднем 60/10+60/20+60/25+60/30+60/20=16,4 мин. Следовательно на выдаивание 1 л молока доярка затрачивает в среднем 16,4:5=3,28 мин (а не 2,86 мин, как получилось выше).

Следовательно, за 1 ч доярка выдаивает в среднем не 21 л молока, а только 18,31 л, что видно из следующего расчета: Н=5/(1/10+1/20+1/25+1/30+1/20)=5/0,273=18,31 л. На выдаивание 1 л молока доярка затрачивает в среднем 60/18,31=3,23 мин. В данном случае этот показатель является более точным, чем средняя арифметическая.

При выражении признаком мерами площади (например, диаметр корзинок подсолнечника, с которым связана урожайность этой культуры; величина листовых пластинок, от которой зависит продуктивность фотосинтеза, или размеры колоний микроорганизмов, продуцирующих те или иные активные вещества, и т.п. признаки) более точной характеристикой будет средняя квадратическая, обозначаемая символом S. Эта величина равняется корню квадратному из суммы квадратов вариант, отнесенной к их общему числу в данной выборке, т.е.

,                (14)

или при повторяемости отдельных вариант:

.             (15)

Пример. При измерении диаметра у десяти корзинок подсолнечника (см) полученные результаты распределились следующим образом:

Диаметр корзинок (х) … 8  11  13  15  16  17

Число случаев (р) ………1    1    2    3    2    1

Определим средний размер этого признака. Предварительно рассчитаем 1999, откуда S=14,1 см. Если вычислить среднюю арифметическую, то она оказывается меньше средней квадратической: =13,9 см.

Средняя кубическая – более точная характеристика объемных признаков. Она обозначается символом К и равняется корню кубическому из суммы кубов вариант, деленной на их число, т.е.

,                      (16)

или с учетом повторяемости отдельных вариант:

      .                 (17)

Пример. При измерении диаметра (см) наугад отобранных 18 куриных яиц (бралась полусумма большого и малого диаметра яиц) результаты распределились следующим образом:

Диаметр яиц (х) ……..4,7  4,8  5,0  5,4  5,6  6,0

Число случаев (р)……2     4     6     3     2     1

Определим средний размер (объем) яиц по их диаметрам.  Предварительно найдем 2439,7, откуда К=5,1 см.

Средняя геометрическая – более точная характеристика при определении средних прибавок или при увеличении линейных размеров тела, прироста численности популяции за определенный промежуток времени. Она обозначается символом G и равна корню n-й степени из произведений членов ряда:

.              (18)

Например, средняя геометрическая чисел 5, 8, 25 равна

Обычно средняя геометрическая вычисляется с помощью десятичных логарифмов по формуле:

,          (19)

то есть логарифм средней геометрической равен средней арифметической из логарифмов всех членов ряда. При этом отклонения логарифмов отдельных вариант от логарифма средней геометрической в сумме равны нулю (основное свойство средних величин).

Пример. По данным Дональдсона, живая масса подопытных мышей изменяется с возрастом (таблица 2.6.1).

Таблица 2.6.1

 

Возраст мышей, недели

Живая масса, г

()

 

Абсолютные недельные прибавки массы, г

Логарифм прибавок массы мышей

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

15

20

27

35

46

58

72

87

-

5

5

7

8

11

12

14

15

-

0,69897

0,69897

0,84510

0,90309

1,04139

1,07918

1,14613

1,17609

Сумма                -                                         77                           7,58892

Подставляя известные величины в формулу, определяем среднюю геометрическую недельных абсолютных прибавок массы мышей за первые девять недель их жизни: lgG=7,58892/8=0,94861, откуда  G=8,9 г. Средняя арифметическая из абсолютных прибавок массы оказывается больше средней геометрической: =77/8=9,6 г.

Средняя геометрическая – более точный показатель, чем средняя арифметическая, когда приходится характеризовать изменения признаков во времени. В этом нетрудно убедиться, имея в виду тот факт, что последовательное умножение показателя относительного прироста величины признака (G) начиная с начальной величины () равно его конечной величине (). Этот прием служит для проверки точности расчета средней геометрической относительных прибавок величины признака за данный период времени.

Как правило, средняя арифметическая незначительно отличается от средней геометрической и в качестве приближенной характеристики темпов динамики пользуются и средней арифметической, вычисление которой связано с меньшей затратой труда.

Одним из условий правильного применения средней геометрической является наличие геометрической прогрессии, заложенной в самой динамике явления. Эта особенность несколько ограничивает области применения этого ценного показателя.