Нормальное распределение


Цель. Знакомство с законом нормального распределения.

Вероятность Р любого значения (хi) непрерывно распределяющейся случайной величины Х находится в интервале от хо до х+dх (dх – величина, определяющая ширину интервала):

           (34)

В этой формуле е=2,7183… - основание натуральных логарифмов; σ – стандартное отклонение, характеризующее степень рассеяния значений (xi) случайной величины Х вокруг генеральной средней μ, называемой математическим ожиданием. В показатель степени числа е входит нормированное отклонение .

Закон нормального распределения, или просто нормальный закон, описываемый формулой Гаусса-Лапласа, выражает функциональную связь между вероятностью Р(Xi) и нормированным отклонением t. Он утверждает, что вероятность отклонения любой варианты (xi) от центра распределения μ, где xi-μ=0, определяется функцией нормированного отклонения t. Графически эта функция выражается в виде кривой вероятности, называемой нормальной кривой. Положение этой кривой полностью определяется двумя параметрами: средней величиной или математическим ожиданием (μ) и стандартным отклонением (σ), характеризующим варьирование отдельных значений случайной величины вокруг центра распределения μ. В зависимости от величины σ форма нормальной кривой может быть и пологой (при большой величине σ) и более или менее крутой (при небольшой величине σ). Во всех случаях нормальная кривая строго симметрична относительно центра распределения и сохраняет правильную колоколообразную форму.

Нормальное распределение полностью характеризуется двумя параметрами: средней величиной или математическим ожиданием (μ) и дисперсией случайной величины Х (σ2x). Математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме произведений отдельных значений этой величины на их вероятности:

μ(х) =

Пример. Из 80 контрольных работ, представленных студентами, 20 работ оценены баллом 5; 35 получили оценку 4, а остальные 25 работ оценены баллом 3. Определите средний балл оценки работ. Составим таблицу значений случайной величины Х с их частостями, которые принимаем за вероятности  этих значений:

Х………          5                   4                  3

Р(Х)…..       20/80           35/80            25/80

Отсюда μ(х)=5·0,2500+4·0,4375+3·0,3125=3,9375=4 балла.

Для нормального распределения характерно совпадение по абсолютной величине средней арифметической, медианы и моды. Равенство этих показателей указывает на нормальность распределения случайной величины. Для нормального распределения характерно также то, что на равные интервалы, измеряемые нормированным отклонением от центра распределения, приходится равное число вариант.