Вычисление дисперсии двухфакторного комплекса при малой выборке


Цель. Знакомство с методами вычисления дисперсии двухфакторного комплекса при малочисленной выборке

Дисперсия признака вызывается не только влиянием одного и другого факторов, но и их совместным действием на варьирующий признак факторов А и В. Поэтому дисперсионный анализ двухфакторного комплекса должен выявить дисперсию Су, Сх, СА, СВ, Сz, а также дисперсию совместного влияния факторов САВ.

Формулы этих дисперсий следующие:

Общей дисперсии: Су=∑v2-Н, где Н=;

Общефакториальной дисперсии: Сх=∑h-H;

Дисперсии от фактора А: СА=∑hА-H;

Дисперсии от фактора В: СВ=∑hВ-H;

Дисперсии от факторов АВ: САВ= Сх- СА- СВ;

Остаточной дисперсии: Сz=∑v2-∑hх.

Дисперсии Су, Сх, Сz вычисляются так же, как и в однофакторном комплексе. При вычислении факториальных дисперсий СА и СВ, для получения величин ∑hА и ∑hВ решетка обрабатывается отдельно.

Пример. Выяснить влияние на яйценоскость кур кормов животного происхождения и продолжительности светового дня. Необходимые данные для вычисления общей, факториальной и остаточной дисперсий приведены в таблице 6.3.1

Таблица 6.3.1 Обработка двухфакторного равномерного комплекса при малочисленной выборке

Рацион без кормов животного происхождения (А1)

Рацион с кормами животного происхождения (А2)

Световой день 8-10 час (В1)

Световой день 12-14 час (В2)

Световой день 8-10 час (В1)

Световой день 12-14 час (В2)

V (яйценоскость)

157, 162, 166, 158, 167, 164

170, 178, 185, 180, 173, 175

188, 193, 192, 184, 199, 190

190, 211, 198, 204, 220, 207

4411

v2

24649, 26244, 27556, 24964, 27889, 26896

28900, 31684, 34225, 32400, 29929, 30625

35344, 37249, 36884, 33856, 39601, 36100

36100, 44521, 39204, 41616, 48400, 42849

817685

nх

6

6

6

6

24

∑vх

974

106

1146

1230

4411

(∑vх)2

948676

1125721

1312316

1512900

-

∑hx

158113

187620

218719

252150

816602

Необходимые данные для вычисления факториальных дисперсий СА и СВ приведены в таблице 6.3.2

Таблица 6.3.2 Обработка комплекса по факторам А и В

Классы по факторам

N фактора

∑vx

(∑vx)2

H=

А1

А2

12

12

2035

2376

4141225

5645376

345102

470448

По фактору А

24

4411

-

815550

В1

В2

12

12

2122

2291

4494400

5248681

374533

437390

по фактору В

24

4411

-

811923

Дисперсии вычисляются по вышеприведенным формулам, подставляя в них данные из таблиц 6.3.1 и 6.3.2.

Величина Н==;

Су=∑v2-Н=817685-810705=6980;

Сх=∑h-H=816602-810705=5897;

СА=∑hА-H=815550-810705=4845;

СВ=∑hВ-H=811923-810705=1218;

САВ= Сх- СА- СВ=5897-4845-1218=166;

Сz=∑v2-∑hх=817685-816602=1083.

Доля влияния факторов А и В совместного действия АВ на изменчивость признака в нашем примере равнялась:

, или 69,5%;

, или 17,5%;

, или 1,8%.

Число степеней свободы равно: νх =А-В-1=2·2-1=3; νА =А-1=2-1=1; νВ =В-1=2-1=1; νАВ= νА·νВ=1·1=1; νz=n-А·В=24-2·2=20; νy=n-1=24-1=23.

Корректированные дисперсии равняются:

; ; ; ;

Коэффициент Фишера, показывающий достоверность каждой дисперсии в данном примере, равен:

Fx=26,4; FА=90,4; FВ=22,5; FАВ=3,08.

Табличное значение F для нашего примера при трех уровнях вероятности равно:

Степеней свободы 20-3. F0,95=3,1; F0,99=4,9; F0,999=8,1.

Степеней свободы 20-1. F0,95=4,3; F0,99=8,1; F0,999=14,8.

Следовательно, дисперсия, вызванная кормлением и продолжительностью светового дня, достоверна при р=0,999. Дисперсия от совместного действия факторов А и В не достоверна, так как вычисленное F (3,08) ниже табличного значения F при наличии степеней свободы 20-1.