Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости при установившемся движении


При установившемся движении жидкости проекции скорости на оси координат , а также величина р являются функциями только координат точек пространства и от времени не зависят. С учетом этого уравнения Эйлера (3.15), после соответствующих преобразований, для установившегося движения будут иметь вид

(3.17)

Для вывода уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости умножим правую и левую часть первого уравнения на , второго уравнения на и третьего уравнения на . Принимая во внимание, что для установившегося движения проекции перемещения частиц вдоль потока соответственно равны , после несложных преобразований получим

(3.18)

В системе уравнений (3.18) сумма слагаемых в скобках представляет собой полные дифференциалы компонентов скорости –

С учетом этого система уравнений (3.18) примет вид

(3.19)

Известно, что , тогда, складывая отдельно, левые и правые части уравнения (3.19), получим

или

(3.20)

Если частицы движущейся жидкости находятся под действием только силы тяжести уравнение (3.20) примет вид так как в этом случае

Разделив полученное уравнение на (–g), получим основное уравнение гидродинамики – уравнение Бернулли в дифференциальной форме

(3.21)

Проинтегрировав выражение (3.21) от какого-либо начального сечения I до другого конечного сечения II (Рис. 3.3), получим

(3.22)

Уравнение (3.22) и есть уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости при установившемся движении.

Рассмотрим элементарную струйку, в которой выберем два произвольных сечения I и II (Рис. 3.3).

Координата z есть расстояние по вертикали от некоторой горизонтальной линии (плоскости) сравнения, которая также выбирается произвольно. Очевидно, что величина z для различных точек одного и того же сечения будет различна. Однако для элементарной струйки, при бесконечно малых сечениях, это различие очень мало, и мы будем измерять величину z, которая называется геометрической высотой, или геометрическим напором, от линии сравнения до центра тяжести выбранного сечения.

Если к центрам тяжести рассматриваемых сечений подведем пьезометрические трубки, то жидкость в них поднимется на некоторую высоту, характеризующую полное гидромеханическое давление. Эта высота, , называется пьезометрической высотой, или пьезометрическим напором и представляет собой второе слагаемое в уравнении Бернулли.

Теперь к центрам тяжести тех же сечений подведем скоростные трубки (трубки Пито). Скоростная трубка представляет собой пьезометр, нижний конец которой загнут на 900. Этот открытый конец устанавливаем в выбранной точке строго против направления вектора скорости u. Уровень жидкости в скоростной трубке установится выше, чем в обычном пьезометре.

Объясним существование избыточного столба жидкости hд в трубке Пито (Рис. 3.4).

Избыточный столб жидкости должен вызвать, в соответствии с законом Торричелли, истечение жидкости из скоростной трубки со скоростью . С другой стороны, частицы жидкости стремятся войти в отверстие скоростной трубки со скоростью u. Фактически жидкость в трубке Пито находится в равновесии, следовательно , а . Тогда .

Таким образом, разность высот в скоростной трубке и пьезометре равна третьему слагаемому в уравнении Бернулли. Это слагаемое, , называется скоростной высотой, или скоростным напором.

Из уравнения (3.22) и рисунка (3.3) видно, что при установившемся движении идеальной жидкости для любого живого сечения элементарной струйки сумма трех напоров: геометрического, пьезометрического и скоростного – есть величина постоянная, равная гидродинамическому напору.

Все члены уравнения Бернулли (3.22) имеют линейную размерность и в энергетическом смысле представляют удельную энергию жидкости – энергию, отнесенную к единице веса жидкости. В приведенном выражении z – удельная потенциальная энергия положения; – удельная потенциальная энергия давления; – удельная потенциальная энергия жидкости; – удельная кинетическая энергия, выраженная через действительную скорость в рассматриваемом сечении. Сумма всех трех членов представляет полный запас удельной механической энергии в рассматриваемом сечении. Поэтому уравнение Бернулли, с энергетической точки зрения, можно сформулировать так: полная удельная энергия 1 кг. идеальной жидкости не изменяется по длине элементарной струйки, т.е. уравнение Бернулли представляет собой частный случай закона сохранения энергии.