Условия гидродинамического подобия. Критерии подобия


Итак, для того чтобы перенести результаты эксперимента, полученные на модели, на натурный процесс необходимо, чтобы оба процесса были подобны.

Подобными называют явления, протекающие в геометрически подобных системах, в которых наблюдаются процессы одинаковой физической природы и одноименные величины имеют постоянное между собой отношение.

Гидродинамические процессы будут подобны, если соблюдается геометрическое, кинематическое и динамическое (материальное) подобие.

Рассмотрим каждое из условий подобия натурного и модельного процессов.

Геометрическое подобие – подобие форм двух тел или объектов. Геометрическое подобие предполагает пропорциональность всех сходственных размеров натурного и модельного процессов, а также равенство углов в сходственных точках. Присвоим величинам натурного процесса индекс «н», а величинам, относящимся к модельному процессу индекс «м». Тогда, в соответствии с определением, линейный масштаб подобия можно записать в следующем виде

(4.2)

где и – сходственные линейные размеры.

Подобные масштабы геометрического подобия можно получить для площади, которая представляет собой квадрат линейной величины, и объема – куб линейной величины, т.е. – масштаб подобия площадей и – масштаб подобия объемов.

Сходственными точками в геометрически подобных системах называют такие точки, которые одинаково расположены к границам этих систем, и отношения координат которых равны линейному масштабу подобия.

Кинематическое подобие – подобие движения. Основное требование, предъявляемое к кинематическому подобию это то, что траектории движения сходственных частиц жидкости модельного и натурного процессов за любые сходственные промежутки времени должны быть подобны. Кинематическое подобие предполагает пропорциональность скоростей и ускорений в сходственных точках и равенство углов, характеризующих направление этих скоростей и ускорений. В качестве постоянной кинематического подобия выбран масштаб времени

(4.3)

Сходственными обычно называют такие промежутки времени и , которые относятся к подобным системам и имеют общее начало отсчета.

Так как , масштаб скорости будет равен

.(4.4)

Кинематическое подобие возможно только при соблюдении геометрического подобия.

Динамическое подобие – подобие масс и сил. Динамическое подобие предполагает пропорциональность сил действующих на сходственные объемы модельного и натурного процесса и равенство углов, характеризующих направление этих сил. Этого возможно достичь при соблюдении кинематического подобия в геометрически подобных системах. Таким образом, наличие всех видов подобия двух систем обеспечивает их полное гидродинамическое подобие.

Рассматривая подобие масс модельного и натурного процесса, получим

,(4.5)

где – масштаб плотности, а – масштаб масс.

По второму закону Ньютона силы инерции определяются произведением массы на ускорение, т.е. , их отношение в подобных системах равно масштабу сил

(4.6)

Таким образом, силы инерции пропорциональны плотности, скорости во второй степени и характерному линейному размеру во второй степени.

Заменяя, в зависимости (4.6), масштабы подобия соответствующими отношениями физических величин, после несложных преобразований получим

(4.7)

Это отношение, одинаковое для подобных систем, является общим критерием гидродинамического подобия справедливым для любых сил и называется критерием Ньютона

(4.8)

Для достижения полного гидродинамического подобия необходимо обеспечить пропорциональность всех одновременно действующих на жидкость сил – трения, давления, тяжести, инерции и др. Однако практически это условие выполнить невозможно. Поэтому обычно имеют дело с неполным подобием, обеспечивая пропорциональность лишь тех сил, которые в изучаемом процессе являются доминирующими.

Если в выражение (4.7) вместо силы подставить доминирующую силу, то получим соответствующий критерий подобия, который при моделировании данного процесса будет критерием полного гидродинамического подобия.

При движении реальных жидкостей доминирующей является сила трения между частицами жидкости, обусловленная ее вязкостью . Подставив полученное выражение силы в зависимость (4.7), можно записать, что или

(4.9)

Безразмерная величина является критерием гидродинамического подобия сил внутреннего трения и называется критерием Рейнольдса

(4.10)

Число Рейнольдса является величиной, пропорциональной отношению сил инерции к силам трения.

Очень часто, в качестве характерного линейного размера , в критерии Рейнольдса принимается диаметр трубы . С учетом этого и, заменяя в выражении (4.10) коэффициент динамической вязкости коэффициентом кинематической вязкости , получим

.(4.11)

Из выражения (4.9) легко получить соотношения, позволяющие переходить от скоростей в модели к скоростям в натуре. Если принять, что .

Если в рассматриваемой системе решающее значение имеют силы инерции и силы давления, то определяющим критерием гидродинамического подобия служит критерий Эйлера.

Запишем выражение для определения силы давления , тогда условие (4.7) примет вид

(4.12)

Равенство этих отношений, для модельного и натурного процессов, свидетельствует о подобии систем с доминирующей силой давления.

Безразмерный комплекс называется критерием Эйлера – критерием подобия сил давления

(4.13)

Критерию Эйлера придают несколько иной вид, заменяя абсолютное давление р разностью давлений Dр

(4.14)

Физический смысл критерия Эйлера заключается в пропорциональности отношения сил давления к силам инерции.

Рассмотрим случай, когда определяющей силой, действующей на систему, является сила тяжести. Тогда и условие (4.7) примет вид или

.(4.15)

Безразмерная величина называется критерием Фруда

. (4.16)

Равенство чисел Фруда в соответственных точках потоков, удовлетворяющих геометрическому, кинематическому и материальному подобию, обеспечивает подобие сил тяжести. За величину может быть принята любая характерная линейная величина. Из выражения (4.16) понятно, что число Фруда – это величина, пропорциональная отношению сил инерции к силам тяжести.

Как мы уже отмечали, при одновременном учете действия различных сил полное подобие модельного и натурного процессов осуществить практически невозможно. Рассмотрим пример, когда необходимо учесть одновременное действие сил тяжести и сил внутреннего трения. При этом потребуется соблюдение равенств и , что в конечном итоге приведет к выражению . Это означает, что, применяя одну и ту же жидкость на модели и в натуре (), добиться подобия невозможно. Также невозможно подобрать для лабораторных исследований на модели такую жидкость, вязкость которой была бы в раза меньше, чем вязкость жидкости в натуре.

Необходимо отметить, что очень часто не удается осуществить полное подобие из-за того, что на практике невозможно достичь подобия шероховатостей поверхностей.