Применение метода анализа размерностей


При различных гидравлических исследованиях приходиться устанавливать функциональные зависимости между физическими величинами, оказывающими влияние на исследуемые явления, которые могут быть получены из анализа размерностей. В основе этого метода лежит так называемая Пи-теорема, или теорема Бэкингема, основанная на том, что функциональная зависимость между физическими размерными величинами всегда может быть преобразована в уравнение, содержащее безразмерных комбинаций тех же физических величин (так называемых чисел ). Разность представляет собой число первичных (основных) единиц, например, в гидравлике – единицы длины, времени и массы, а в теплотехнике к перечисленным величинам добавляется еще температура.

Предположим, что функциональная зависимость, исследуемого явления представлена в следующем виде:

,(4.17)

где – все физические и геометрические величины, характерные для данного исследования.

В общем случае в функциональную зависимость (4.17), включая и исследуемый параметр , входят величин. Некоторые из этих величин могут быть переменными, другие постоянными, какие то величины могут быть размерными, а другие отвлеченными, но при любых условиях функциональная зависимость (4.17) должна быть независимой от выбора системы единиц измерения, так как она выражает физический закон. От выбора системы единиц измерения будет зависеть лишь численное значение величин или .

При гидравлических исследованиях оказывается целесообразным из числа переменных выбрать следующие три величины с независимыми размерностями, включающими в себя три основных единицы (длины, времени и массы):

характерный линейный размер, как правило, для труб круглого сечения это диаметр трубопровода – = м;

средняя скорость потока – = м ×с-1;

плотность жидкости – = кг×м-3.

Через основные величины можно выразить размерность любой величины, входящей в функциональные зависимости, исследуемые в большинстве случаев в гидравлике. При подобном выборе единиц измерения размерности всех остальных величин, входящих в зависимость (4.17), могут быть выражены в виде произведения некоторых степеней основных единиц

(4.18)

Численное значение величин и , в выбранной системе единиц, может быть представлено как произведение некоторого отвлеченного числа или на произведение степеней единиц основной системы

; (4.19)

Значение отвлеченных чисел и можно вычислить по формулам

; .(4.20)

Так как величины и приняты за основные, то отвлеченные величины и можно рассматривать как безразмерное (относительное) значение и .Из этого следует, что относительное значение каждой из величин, входящих в функциональную зависимость (4.17), оказывается уменьшенным в или раз и зависимость (4.17) может быть представлена в виде безразмерных комплексов

(4.21)

Показатели степеней находят из условия безразмерности числа , т.е. путем сравнения размерностей левой и правой частей при первичных единицах – метр, секунда и килограмм.

Применяя методы теории размерностей к исследованию различных закономерностей, в частности, гидравлических, необходимо отметить два свойства -теоремы, которые непосредственно вытекают из анализа размерностей величин, входящих в функциональную зависимость. Первое из них можно сформулировать так, если в числителе и знаменателе содержаться величины с одинаковой размерностью, то число представляет собой отношение этих величин. Второе свойство – если в числителе и знаменателе имеются одинаковые величины, то число равно единице ().

Равенство безразмерных величин в подобных потоках выражает равенство относительных значений соответствующих физических величин, поэтому эти величины могут представлять собой соответствующие критерии подобия.