Истечение жидкости через малое отверстие в тонкой стенке


Рассмотрим случай истечения жидкости из большого резервуара через малое круглое отверстие в тонкой стенке (Рис. 10.1, а). При достаточно большой площади поперечного сечения резервуара скорость опускания уровня в резервуаре можно принять равной нулю. Будем считать, что в резервуаре поддерживается постоянный уровень жидкости , а избыточное давление в сосуде постоянным  и равным  (движение установившееся). Отверстие с площадью живого сечения равной  находится на достаточно большой глубине  от свободной поверхности. Истечение происходит в воздушное или газовое пространство с давлением .

Частицы жидкости приближаются к отверстию из всего прилежащего объема, двигаясь ускоренно по криволинейным траекториям. На некотором расстоянии от стенки, равном примерно  диаметра отверстия, кривизна линий токов уменьшается, отдельные струйки располагаются почти параллельно, при этом наблюдается заметное уменьшение живого сечения вытекающей струи. Причиной, вызывающей сжатие струи, является инерционность частиц жидкости, приближающихся к отверстию по радиальным направлениям, особенно вдоль стенок резервуара. Эти частицы, стремясь по инерции сохранить направление своего движения, огибают кромку отверстия и образуют поверхность струи на участке сжатия.

Степень сжатия струи характеризуется коэффициентом сжатия , представляющим собой отношение площади сжатого живого сечения струи  к площади отверстия

.                                        (10.1)

Для установления закономерностей истечения через малые отверстия в тонкой стенке составим уравнение Бернулли для сечений  и  относительно горизонтальной плоскости, проходящей через центр тяжести отверстия

.                    (10.2)

В соответствии с оговоренными условиями и принятыми обозначениями определим каждое слагаемое в уравнении Бернулли:

1. , ;

2. . Если резервуар будет открыт, а истечение происходит в атмосферу, то .

3. , так как уровень жидкости в резервуаре  и давление на свободной поверхности жидкости  в процессе истечения остаются постоянными.

4. , т.е. при истечении жидкости через малое отверстие возникают потери напора на преодоление местных сопротивлений в тонкой стенке. Для большинства случаев истечения через малое отверстие в тонкой стенке .

Тогда, для рассматриваемого случая, уравнение Бернулли примет вид

 или ,

а скорость истечения жидкости в сжатом сечении струи

,                 (10.3)

где  – коэффициент скорости;

     – действующий напор.

Для идеальной жидкости , , следовательно,  и скорость истечения идеальной жидкости (формула Торичелли)

.                                 (10.4)

Сравнивая формулы (10.3) и (10.4) можно сделать заключение, что коэффициент скорости  есть отношение действительной скорости истечения к скорости идеальной жидкости

.                                   (10.5)

Действительная скорость истечения  всегда меньше идеальной вследствие наличия сопротивлений при истечении, следовательно, коэффициент скорости всегда меньше единицы.

На основании опытных данных с большой степенью точности можно считать, что . Тогда .

Расход жидкости через малое отверстие в тонкой стенке определим как произведение скорости на площадь живого сечения струи

,             (10.6)

где  – коэффициент расхода.

На истечение жидкости через отверстие и, в частности, на степень сжатия струи оказывает влияние расположение отверстия в дне резервуара или боковой тонкой стенке. При этом изменяется и значение коэффициента расхода жидкости.

В зависимости от расположения отверстия различают следующие виды сжатия (Рис. 10.2):

1. Полное сжатие – это такой случай истечения, при котором наблюдается сжатие струи по всему периметру отверстия (отверстия 1 и 2).

2. Неполное сжатие характерно отсутствием сжатия струи с одной или нескольких сторон (отверстия 3 и 4).

Полное сжатие, в свою очередь, подразделяют на совершенное и несовершенное сжатие.

Совершенным сжатием называют такое сжатие, при котором боковые стенки и дно сосуда не оказывают влияния на степень сжатия струи. Это имеет место, если стенки удалены от отверстия на расстояние, больше утроенной длины соответствующей стороны отверстия.

Например, для квадратного отверстия со стороной равной «а» полное совершенное сжатие наблюдается при выполнении условия  и  (отверстие 1).

Если расстояние от стенки до ближайшей кромки отверстия становится меньше утроенной длины соответствующей стороны отверстия ( и ), то имеет место полное несовершенное сжатие (отверстие 2).

При несовершенном сжатии коэффициент расхода для квадратичной зоны движения жидкости вычисляют по формулам, предложенным Павловским Н.Н.:

для круглых отверстий

;                              (10.7)

для прямоугольных отверстий

,                              (10.8)

где  – коэффициент расхода при полном сжатии;

 и  – поправочные коэффициенты, зависящие от отношения площади отверстия  к площади поперечного сечения потока перед отверстием  ().

Значения коэффициентов  и  в формулах (10.7) и (10.8) приведены в таблице.

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,70

0,007

0,014

0,023

0,034

0,045

0,059

0,075

0,092

0,112

0,134

0,161

0,189

0,260

0,009

0,019

0,030

0,042

0,056

0,071

0,088

0,107

0,128

0,152

0,178

0,208

0,278

 

При неполном сжатии для определения коэффициента расхода можно воспользоваться следующей формулой

,                                     (10.9)

где  – коэффициент расхода при совершенном сжатии;

 – часть периметра отверстия, на котором отсутствует сжатие;

 – полный периметр отверстия;

 – коэффициент, равный 0,13 для круглых отверстий и 0,15 для прямоугольных отверстий.

Следует отметить, что все коэффициенты, характеризующие истечение зависят от числа Рейнольдса (). На рисунке 10.3 приведены кривые (график А.Д. Альтшуля) зависимости коэффициентов ,  и  от числа  для случая истечения жидкости через малое отверстие в тонкой стенке.

Из графика видно, что с увеличением , коэффициент  возрастает, а коэффициент   уменьшается. Значения коэффициентов  и  при этом асимптотически приближаются к их значениям, соответствующим истечению идеальной жидкости, т.е. при  значения  и .

Изменение коэффициента расхода () имеет более сложный характер. С увеличением числа Рейнольдса коэффициент  сначала увеличивается, что обусловлено крутым возрастанием , а затем, достигнув максимального значения (), уменьшается в связи со значительным падением  и при больших значениях  практически стабилизируется на величине равной .

Для маловязких жидкостей, истечение которых обычно происходит при достаточно больших числах , коэффициенты истечения изменяются в небольших пределах. Поэтому, в практических расчетах можно принимать следующие осредненные значения – , , , .