Лекция 1. Методы оптимизации: основные сведения


Содержание лекционного занятия:

· Понятие модели

· Классификация экономико-математических моделей.

· Оптимизационные модели

Понятие модели

Если между двумя объектами может быть установлено какое-либо сходство, то один из этих объектов может рас­сматриваться как оригинал, а другой — как модель. Отно­шения «оригинал — модель» возможны между различным числом объектов.

Модель — это условный образ объекта (в качестве кото­рого могут выступать системы или понятия), формирую­щий представление о нем в некоторой форме, отличной от реального существования данного объекта.

Модель какого-либо объекта отображает его основные характеристические свойства в некоторой абстрактной форме.

Модель может служить для достижения различных целей:

· Познания объекта или системы;

· Прогнозирования поведения объекта;

· Принятия наилучших решений для достижения объектом поставленной перед ним цели.

Построение модели любого объекта или явления предполагает абстрагирование от многих реальных свойств объекта, акцентируя внимание на основных свойствах, исходя из целей моделирования. Модель должна отражать только те аспекты объекта или системы, которые соответ­ствуют цели исследования.

Математическая модель экономического объекта — это его гомоморфное отображение в виде совокупности уравнений, неравенств и логических отношений.

Гомоморфизм - понятие математики и логики, обо­значающее такое соотношение между двумя системами, при котором:

каждому элементу и каждому отношению между эле­ментами соответствует один элемент и одно отноше­ние между элементами другой системы;

при выполнении некоторого отношения между элемен­тами первой системы выполняется соответствующее отношение между соответствующими элементами второй системы.

Принято говорить, что вторая система (как совокупность элементов и отношений) представляет собой гомоморфный образ (модель) первой системы, называемой оригиналом. Реальная система может иметь различные гомоморфные ей модели. Понятие гомоморфизма -- фундаментальное тео­ретическое обоснование моделирования, в том числе и эко­номико-математического.

Классификация экономико-
математических моделей

Экономико-математические модели можно классифици­ровать по ряду признаков, относящихся к особенностям моделируемого объекта:

цели моделирования;

используемый инструментарий, т.е. модели макро- и микроэкономические, теоретические и прикладные, оптимизационные и равновесные, статические и динами­ческие и т.д.

1. Макроэкономические модели рассматривают эконо­мику как единое целое.

2. Микроэкономические модели описывают взаимодейст­вие структурных и функциональных составляющих эконо­мики либо поведение одной такой составляющей в рыноч­ной среде.

3. Равновесные модели описывают такие состояния эко­номики, когда результирующая всех сил, стремящаяся вы­ вести ее из данного состояния, равна нулю.

4. Оптимизационные модели присутствуют в основном на микроуровне: максимизация прибыли, минимизация затрат.

5. Статические модели описывают некоторый объект в определенный (фиксированный) момент времени.

6. Динамические модели включают взаимосвязи пере­менных во времени. Динамические модели обычно исполь­зуют аппарат теории дифференциальных игр и разностных уравнений.

7. Детерминированные модели предполагают жесткие функциональные связи между переменными моделями.

8. Стохастические модели допускают случайные воздей­ствия на исследуемые показатели и используют инструмен­тарий теории вероятностей и математической статистики.

9. Эконометрические модели строятся на основе изуче­ния и анализа эмпирических данных.

Одними из наиболее распространенных моделей явля­ются оптимизационные.

Оптимизационные модели

Математические методы оптимизации, соответствующие алгоритмы и компьютерные программы можно рассматривать как эффективный элемент наукоемких технологий, разработка которых в различных областях в настоящее время особенно актуальна. Оптимизационные методы используются в исследовании операций и системном анализе, в планировании производственной деятельности, в проектировании различных объектов, в военном деле и т.д.

Недостаточность классической теории оптимизации вылилась во второй трети XX в. при необходимости решать задачи с ограничениями в виде неравенств, особенно при большом числе переменных. Последнее обстоятельство (большая размерность задач) преодолено разработкой численных методов решения систем алгебраических уравнений соответствующих компьютерных программ.

Задачи с ограничениями в виде неравенств, в которых равенство нулю частных производных вообще не является даже необходимым условием экстремума, потребовали работки новой теории оптимизации — теории математического программирования. Эта теория дает совокупность методов решения задач поиска экстремума функций многих переменных (целевая функция) при наличии ограничений (равенств или неравенств) на искомые неизвестные. Как правило, это численные (итерационные) годы. Их практическая реализация осуществляется в соответствующих алгоритмах и компьютерных программах.

Классические задачи на безусловный экстремум (при отсутствии ограничений вообще) или при наличии только ограничений-равенств также могут решаться методами математического программирования (как частный случай). Отсюда следует теоретическая и практическая значимость этих методов.

Наиболее известными и простыми являются методы линейного программирования, используемые в научных исследованиях и практической деятельности значительно чаще, чем методы нелинейного программирования. Но нелинейное программирование— это бурно раз­вивающийся раздел современной теории оптимизации, созданный практически в последние 30-40 лет. Сравни­тельно редкое практическое применение методов нели­нейного программирования объясняется именно этим об­стоятельством (а не отсутствием реальных практических задач), так как необходимо значительное время для освое­ния новых теорий широким кругом практиков и реализа­ции новых методов в конкретных алгоритмах и компью­терных программах. Более того, реализация методов нели­нейного программирования для решения задач большой размерности требует мощных компьютеров, которые по­лучили широкое распространение в нашей стране только в последние 10-15 лет.

Почти одновременно с линейным программированием (конец 40-х - начало 50-х годов прошлого века) был разра­ботан метод динамического программирования. В «компь­ютерную эпоху» он получил широкое применение в самых различных областях практики. Этот мощный метод оптими­зации далеко не универсальный. Известны безуспешные попытки его применения без должного анализа особенно­стей конкретной задачи оптимизации.

Отличительные признаки оптимизационных моделей:

наличие одного или нескольких критериев оптималь­ности (критерий оптимальности — это признак, по
которому одно (или множество) решений задачи при­знается наилучшим); наиболее типичными критерия­ми в экономических оптимизационных задачах явля­ются: максимум дохода или прибыли, минимум из­держек, минимальное время для выполнения задания и другие;

система ограничений, формируемая исходя из содер­жательной постановки задачи и представляющая собой
систему уравнений или неравенств.

Математически эти задачи относятся к задачам на ус­ловный экстремум. Постановка таких задач, представлен­ных в общем виде, выглядит следующим образом:

найти условный максимум (или минимум) функции

Y = f (x1x2...xn) → max (min), (1)

при условии, что независимые переменные удовлетво­ряют ограничениям:

G (x1 ,x2...xn) = 0. (2)

Функцию G называют функцией, задающей ограничения. Если в задаче на условный экстремум ограничения в виде системы уравнений G (x1, x2,..., хn) = 0 заменить на ограниче­ния в виде неравенств и добавить требования (ограничения) неотрицательности переменных x1 ≥0, x2 ≥0,... хn≥0, то полу­чим задачу математического программирования, в которой необходимо:

найти максимум (или минимум) функции

f (x1,x2...xn) →max(min) (3)

при условии, что независимые переменные удовлетворяют системам ограничений:

g1(x1,x2...xn) ≤ 0

……………… (4)

gn(x1,x2...xn) ≤ 0

x1≥0,x2≥0,...,xn≥0 (5)

В задаче математического программирования функцию f (xb x2..., хn) также называют целевой функцией; систему неравенств (4) — специальными ограничениями задачи математического программирования, а неравенства (5) — общими ограничениями задачи линейного программирова­ния.

Задача линейного программирования — частный случай задачи математического программирования, в которой целевая функция и ограничения линейные.

Именно этот класс оптимизационных моделей наиболее широко применяется в экономике. Разработаны специаль­ные пакеты программ линейного программирования для решения этого класса задач.

Вопросы для самоконтроля:

1.Сущность и классификация оптимизационных задач и методов.

2.Условия существования экстремумов.

Рекомендуемая литература:

1.Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах. — М.: Высш. шк., 1986.

2.Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Сборник задач по оптимизации. М.: Наука, 1984.