Нақты сандардың теориясы. Нақты сандардың қасиеттері. Нақты сандардың абсолют шамасы.


Жиындар теориясының негізгі элементтері. Жиын үғымы анықтама берілмейтін математикадағы алғашқы ұғымдардың бірі. Мысалы, Жер щарындағы адамдар, геометриялық фигуралар, N – натурал сандар. Z-бүтін, Q- рационал, R- нақты, C- комплекс сандар жиындар болады.

Жиындарды датын алфавитінің бас әріптері А,В,С,..., ал элементтерін кіші әріптері а, в, с, ... арқылы белгілейді. - символын а элементі А жиынында жатады деп, ал символын а элементті А жиынына тиісті емес деп оқыймыз.

Егер В жиынының кез келген элементі А жиынынң элементі болса, онда арқылы жазып, В жиыны А жиынының ішкі жиыны немесе А жиыны В жиының қамтиды дейміз.

Бірде бір элементі болмайтын жиынды құр немесе бос жиын деп атап, О арқылы белгілейміз. Егер және болса, онда .

Элементтері болатын шекті жиынды А={} түрде жазамыз. Мысала натурал сандар жиыны N={} түрде жазамыз, бүтін санда жиыны

Z={} түрде жазамыз, рационал сандар жиыны Q={} түрде жазуға болады.

Анықтама. А мен В жиындарының бірігуі деп, арқылы жазылатын А немесе В жинында жататын элемент тердің жиыны айтамыз, яғни .

Анықтама. А мен В жиындарының қиылысуы деп, арқылы жазылатын А және В жинында жататын элемент тердің жиыны айтамыз, яғни. .

Анықтама. А мен В жиындарының айырымы деп, арқылы жазылатын А жинында жататын, ал В жинында жатпайтын элементтердің жиыны айтамыз, яғни. .

Анықтама. В жиыны А жиынының ішкі жиыны болғын жағдайда, В жиынының толықтырушы жиыны деп, арқылы жазылатын А жиынының В жинында жатпайтын элемент тердің жиыны айтамыз, яғни. .

Мысалы, А-тіктөртбұрыштар жиыны, ал В квадраттар жиыны болса, онда - квадрат болмайтын тіктөрбұрыштар жиынын анықтайды.

Анықтама. Элементтері қарастырылып отырған бір тектес немесе әр тектес объектілер болатын кез келген жиындарды қамтитын жиынды универсаль жиын атап V арқылы белгілейміз.

Теорема. Жиындарға қолданылатын операциялар үшін төмендегі теңдіктер орындалады:

1) (бірігу мен қиылысудың идемпотенттік заңы)

2)( бірігу мен қосудың коммутативтік заңы)

3) (де Морган заңы)

4) (бірігу мен қиылысудың жутылу заңы)

5) (бірігу мен қиылысудың ассоциавтік заңы)

6) (бірігудің қиылысуға және қиылысудың бірігуге қарағандағы дистрибутивтік заңы).

Әрбір r рационал санына сандық өсте координатасы r –ға тең тек бір ғана нүкте сәйкес келеді. Түзудің әрбір нүктесіне оның координатасын сәйкес қою үшін, басқа жаңа сандар енгізу арқылы рационал сандар жиынын кеңейтуге тура келеді. Бұл жана сандарды иррационал сандар деп атайды. Ал рационал сандар жиыны мен иррационал сандар деп жиынының бірігіуі нақты сандар жиыны деп аталады.

Анықтама. Нақты сан деп

А) Нөлдер, не тоғыздықтар тізбегімен аяқталмайтын (мұндағы теріс емес бұтін сандар) түрундегі кез келген ақырсыз ондық бөлшекті;

Б) 0 немесе ()9...9...9...(мұндағы -оң бүтін сандар) тұріндегі кез келген ақырсыз ондық бөлшекті;

В) +0,00...0... және -0,00...0... түріндегі өзара тең ақырсыз оңдық қос бөлшекті атайды.

Барлық нақты сандар жиынын R әрпімен белгілейді.

Анықтама. Элементтері нақты сандар болып табылатын кез келген жиын сандық жиын деп аталады.

Сандық жиынның мысалдары.

1) Бастапқы нүктесіa, ал соңғы нүктесі b болатын кесінді (тұйық аралық) дегеніміз теңсіздігін қанағаттандыратың барлық х саңдарының жиыны болады. Кесіндіні символмен белгілейді.

2) Бастапқы нүктесіa, ал соңғы нүктесі b болатын интервал (ашық аралық) дегеніміз теңсіздігін қанағаттандыратың барлық х саңдарының жиыны болады. Интервалды символмен белгілейді.

3) Сандық жиынның а нүктесің қамтитын кез келген (c,d) интервалын сол нүктенуң маңайы деп атайды. () интервалы а нүктесінің манайы деп аталады. А нүктесінің маңайын символымен белгілейді. Сонда а нүктесі –оның центрі деп, ал радиусы дерп аталады. Егер маңайынан оның центрі а нүктесі алып тастаса, онда ортасынан тесілген маңайы шығады. Сонда ол () және () ашық аралықиардың бірігуі болады, яғни =() (). Сонымен маңайы сандық түзуде алынған х нүктелерінің теңсіздігін қанағаттандыратын жиыны. Ал маңайы х нүктелерінің теңсіздігін қанағаттандыратын жиыны болады.

4) ) Бастапқы нүктесіa, ал соңғы нүктесі b болатын сандық түзу сәулесі (ақырсыз аралық) дегеніміз теңсіздігін қанағаттандыратың барлық х саңдарының жиыны болады. Оны символмен белгілейді. сәулесі де осыған ұқсас анықталады.

5) Сандық түзу (ақырсыз аралық) дегеніміз теңсіздігін қанағаттандыратың барлық х саңдарының жиыны болады. Ақырсыз аралықты немесе R символдарының бірімен белгілейді.

Х жиынына тиісті барлық х – тер үшін М саны табылып, теңсіздігі орындалатын болса, ол жиын жоғарыдан шенделген деп аталады (символдар арқылы )

М саны Х жиынының жоғары шені деп аталады. Х жиынының жоғарғы шені біреу ғана болмайды, олардың саны ақырсыз көп болады.

Кез келген саны жоғарғы шен бол алады. Жоғарыдан шенделген жиынның жоғарғы шендеріның ең кішісін (егер ол бар болса) оның дәл жоғарғы шені деп атап sup X символымен белгілейді.

Х жиынына тиісті барлық х – тер үшін m саны табылып, теңсіздігі орындалатын болса, ол жиын төменнен шенделген деп аталады (символдар арқылы ). Төменнен шенделген жиынның бір ғана төменгі шені болып қоймайды,олардың да саны ақырсыз көп болады.

Төменнен шенделген жиынның төменгі шендеріның ең үлкенін (егер ол бар болса) оның дәл төменгі шені деп атап inf X символымен белгілейді.

Теорема 1. Жоғарыдан (төменнен) шенделген кез келген бос емес жиындардың әрқайсысының дәл жоғары (дәл төменгі) шені бар.

Теорема 2. M(m) саны құр емес Х сандық жиынының дәл жоғары (дәл төменгі) шені болуы үшін:

А) барлық үшін теңсіздігінің орындалуы

Б) кез келген ншін табылып, теңсіздігінің орындалуы қажітті және жіткілікті, Егер жиын жоғарыдан да, төменнен де шенделген болса, оны шенделген жиын деп атайды.

Анықтама.Нақты санның модулі мына формуламен енгізіледі

а) Кез келген а және b нақты екі санға қандай болса да бір нақты с саны сәйкес келеді, бұл санды олардың қосындысы деп атап, с=a+b символымен белгілейді

б) Кез келген а және b нақты екі санға қандай болса да бір нақты с саны сәйкес келеді, бұл санды олардың көбейтіндісі деп атап, с=ab символымен белгілейді .

Қасиеттері.

1.1. Кез келген нақты а және b сандары үшін a+b=b+a (қосудың ауыстырымдылық қасиеті).

1.2. Кез келген нақты а.b,с сандары үшін (a+b)+с=a+(b+c) (қосудың терімділік қасиеті).

1.3. Кез келген нақты а саны үшін 0 саны табылып,мына тендік орындалады а+0=а (сандарды қосуға қатысты 0 санының ерекше қасиеті).

1.4. Кез келген нақты а санына қарама қарсы а/ саны табылып а+а/=0 теңдігі орындалады (нақты санға қарама қарсы санның бар болуы).

1.5. Кез келген нақты а және b сандары үшін ab=ba (көбейтудің ауыстырымдылық қасиеті).

1.6. Кез келген нақты а.b,с сандары үшін (ab)с=a(bc) (көбейтудің терімділік қасиеті).

1.7. Кез келген нақты а саны үшін 1 саны табылып,мына тендік орындалады а=а (сандарды көбейтуге қатысты 1 санының ерекше қасиеті).

1.8. Нөлден өзге кез келген нақты а саны үшін а/ саны табылып мына теңдік орындалады аа/=1 (нөлден өзге кез келген нақты санға кері санның бар болуы).

1.9. Кез келген нақты а.b,с сандары үшін (a+b)с=aс+bc орындалады (қосуға қатысты көбейтудің үлестірімділік қасиеті).

1.10. Кез келген нақты а және b сандары үшін мына қатыстардың бірі орындалады (екі санның реттік қатынасының байланыстылық қасиеті).

1.11. Егер және болса, онда болады (реттік қатынастың транзивтулук қасиеті).

1.12. Егер болса, онда кез келген нақты с саны үшін мына теңсіздік орындалады (қосудың бірсарындық қасиеті).

1.13. Егер және болса, онда (көбейтудің бірсарындық қасиеті).

1.14. Кез келген үшін натурал n саны табылып, теңсіздігі орындалады (Архимед қасиеті).

Сандық тізбектер. Шектеулі , шектеусіз тізбектер. Монотонды тізбектер. Жинақталатын тізбектер, олардың негізгі қасиеттері.