Шектер теориясы. Сан тізбегі және оның шегі. Шексіз аз және шексіз үлкен тізбектер. Қасиеттері.


Анықтама. Натурал сандар жиыны N анықталған f(n) функциясын тізбек деп атайды. Тізбекті былай жазады немесе қысқаша . Мұндағы n ші жалпы мүшесі дейді. Барлық элементтері тек бір ғана саннан тұратын тізбекті тұрақты тізбек деп атайды.

Екі тізбек берілсін және .

Анықтама. Екі тізбектіердің қосындысы, айырмасы, көбейтіндісі деп сәйкесінше , , тізбектердін айтады.

Егер болса, онда тізбекті тізбекке бөлгенде қатынас деп тізбегін айтады.

Анықтамалар:

  1. Егер үшін тенсіздігі орындалса, онда тізбегі өспелі (кемімелі ) делінеді.
  2. Егер орындалса, онда тізбегі жоғарғы жағынан шектелген делінеді.
  3. Егер орындалса, онда тізбегі төменгі жағынан шектелген делінеді.
  4. Егер тізбегі жоғарғы және төменгі жағынан шектелсе, онда оны шектелген дейді, яғни .
  5. Егер кез келген саны үшін тізбектің ең болмағанда бір элементі табылып теңсіздігі орындалса, онда тізбекті шектелмеген деп атайды.

Анықтама.Егер кез келген санына сәйкес натурал саны табылып нен үлкен барлық натурал n дер үшін

тенсіздігі орындалса, онда а санын шегі деп атайды да оны былай жазады.

.

Қысқаша ()

Анықтама. Егер тізбектін шекті шегі а бар болса, онда оны а санына жинақты дейді.

Анықтама.Егер а нүктесінің аймағында тізбегінің N нөмерінен басталған барлық элементтері жататын болса, яғни , , онда тізбегін а санына жинақталады деп атайды.

Анықтама. Егер кез келген санына сәйкес натурал саны табылып нен үлкен барлық натурал n дер үшін

тенсіздігі орындалса, онда шексіз алыстаған нүктені тізбектің шегі деп атайды да оны былай жазады.

.

Анықтама.Егер тізбектін шегі жоқ немесе болса, онда ол тізбекті жинақсыз дейді.

Анықтама. Шегі нөльгк тең болатын тізбегін шексіз аз тізбек немесе шексіз аз дейді.

Анықтама.Егер кез келген санына сәйкес натурал саны табылып нен үлкен барлық натурал n дер үшін ,

тенсіздігі орындалса, онда тізбегін шексіз аз дейді.

Шексіз аз тізбек пен шегі бар тізбектің арасында тығыз байланыс бар: тізбегінің шегін а десек, онда саны үшін , теңсіздігі орындалса да тізбегі шексіз аз болады.

Егер десек, онда ,

Анықтама Егер тізбегі мен а санының айырмасы шексіз аз болса, онда а санын тізбегінің шегі деп атайды.

Анықтама. Егер кез келген санына сәйкес N номері табылып барлық мәндерінде теңсіздігі орындалса, онда тізбегін шексіз үлкен тізбек дейді де деп жазады.

Шексіз үлкен және шексіз аз тізбектірдің арасындағы байланыс.

Теорема 1. Егер тізбегі шексіз үлкен болса, онда қандай да бір n нөмерінен бастап , екі тізбегінің қатынасы анықталады да ол шексіз аз тізбек болады.

Теорема 2. Егер тізбегі шексіз аз болса, онда қандай да бір n нөмерінен бастап , екі тізбегінің қатынасы анықталады да ол шексіз үлкен тізбек болады.

Теорема 3. Егер және тізбектері шексіз аз болса, онда олардың қосындысы (айырмасы) шексіз аз тізбек болады.

Салдар. Саны шекті шексіз аз тізбектердің алгебралық қосындысы шексіз аз тізбек болады.

Теорема 4. Шектелген тізбек пен шексіз аз тізбектің көбейтіндісі шексіз аз бллады.

Теорема 5. Кез келген аз тізбек шектелген.

Салдар. Саны шекті шексіз аз тізбектердің көбейтіндісі де шексіз аз тізбек болады.

Теорема 6. Егер шексіз аз тізбегінің барлық элементтері бір және тек бір ғана с санына тең болса, онда с=0.

Жинақты тізбектердің қасиеттері.

Теорема 1. Жинақты тізбектердің тек бір ғана шегі болады.

Теорема 2. Кез келген жинақты тізбек шектелген.

Ескерту. Кез келген шектелген тізбек жинақты болады деуге болмайды.

Теорема 3. Жинақты мен тізбектердің қосындысы (айырмасы) да жинақты тізбек және оның шегі мен тізбектер шектерінің қосындысына (айырмасына) тең

Салдар. 3 ші теорема косылғыштырдың саны шекті болған жағдайда да күшін сақтайды

Ескерту.3 теореманың кері тұжырымы әр уақытта дұрыс бола бермейді, яғни қосындының шегінің бар болуынан әрбір қосылғыштың шегі бар деуге болмайды.

Теорема 4. Егер мен тізбері жинақты болса, онда тізбегі де жинақты және оның шегі мен тізбітер шектерінің көбейтіндісіне тең

Салдар. Егер бар болса, онда , мұндағы к кез келген тұрақты сан, шегі де бар және =.

Салдар.Саны шекті жинақты тізбектердің көбейтіндісі де жинақты болады.

=.

Ескерту. 4 тоермаға кері теорема әрқашанда орынды деуге болмайды. Басқаша айтқанда тізбегінің шегі бар балғанымен мен тізбектерінің шектері болмауы мүмкін.

Теорема 5. Егер мен тізбектерінің шектері сәйкес а және в болса, онда тізбегінің де шегі бар және .

Салдар. Егер және , к – бүтін теріс сан болса, онда

Теорема 6. Егер , , к натеурал сан болса , онда

Анықтама. Егер тізбегінің әрбір келесі элементті оның алдындағы элементтен кем /артық/ болмаса, яғни егер барлық нөмерлері үшін // теңсіздігі орындалса, онда тізбегін кеміммейтің /өспейтің/ тізбек деп атайды.

Анықтама. Егер тізбегінің әрбір келесі элементті оның алдындағы элементтен кем /артық/ болмаса, яғни егер барлық нөмерлері үшін // теңсіздігі орындалса, онда өспелі /кемімелі/ тізбек деп атайды.

Тізбетердің барлық осы түрлерін біріктіріп жалпы атпен монотонды тізбектер деп атайды.

Кез келген монотонды тізбек не жоғары, не төменгі жағынан шектелген болады.

Егер өспейтін тізбек төменгі жағынан шектелсе, онда ол екі жағынан да шектелген болады.

Теорема. Егер кемімейтін /өспейтін/ тізбек жоғарғы /төменгі / жағынан шектелсе, онда ол жинақты.

Салдар. Монотонды тізбек жинақты болу үшін оның шектелуі қажетті және жеткілікті.

1 ескерту. Жинақты тізбек монотонды болмауы да мүмкін.

2 ескерту. Кемімйтін және жоғарғы жағынан шектелген тізбегінің барлық элементтері оның шегі а дан аспайды, яғни .

3 ескерту.Монотонды тізбектің шегі тұралы теоремада шектің бар болуы фактысы ғана тағайындалган, ал шекті табу әдісі көрсетілмеген.

Анықтама Егер кесінділердің шексіз тізбегі үшін

1/ Әрбір келесі кесінді оның алдындағы кесіндіде жатса

/1/

2/ кесіндісінің ұзындығы нөлге ұмтылса, яғни , онда /1/ тізбекті тартылатын кесінділер деп атайды.

Теорема. Егер /1/ тізбек тартылатын кесінділер тізбегі болса, онда осы кесінділірдің бәрінде жататын с нүктесі бар және ол жалғыз.

е саны.Мынадай тізбек алайық та, монотонды тізбектің шегі теореманы пайдаланып осы тізбектің жинықты екенін дәлелдейік.

Оны бинома ньютон формуласын пайдаланып жиктейміз.

.

xn+1элементті сол сияқты жазамыз

Мунда xn<xn+1 , яғни {xn} тизбегі өспелі болады.

Енді бұл тизбектін жоғарыдан шектелетіндігінін көрсетеміз. Для доказательства ограниченности этой последовательности сверху заметим, что каждое выражение в круглых скобках в соотношении меньше единицы. Учитывая также, что <при ≥ 2, получим

<< 3

Сонымен {xn} тизбегі өспелі және шектелген жоғары жағынан. Онда {xn} тизбегінін шегі бар. Ол шекті және оны е арқылы белгілейді, яғни . Бұл санның анализдің өзі үшін де және онын қолданылуында да маңызы. (Эйлердің саны), е саны иррационал және сол себептен шексіз периодты емес бөлшек. Ол логарифмдер негізіне алынған, негізгіе е болатын логарифмдер натурал логарифмдер деп атайды. санының натурал логарифмін lnx деп белгіле»ді, яғни lnx=

Замечание. В дальнейшем выяснится, что число е играет важную роль в математике. Здесь отметим, что поскольку xn< 3 и из непосредственно очевидно, что 2 <xn, то число е заключено в пределах 2≤ е ≤ 3