Ақырсыз аз және ақырсыз үлкен функцияларды салыстыру Тамаша шектер.


Анықтама. Егер тізбегінің шегі 0-ге тең болса, онда ол ақырсыз кіші тізбек деп аталады ()

Анықтама. Егер тізбегінің шегі -ге тең болса, онда ол ақырсыз үлкен тізбек деп аталады ()

Қасиеті. Егер ақырсыз үлкен болса, онда ақырсыз кіші тізбек болады.

Анықтама. y=f(x) функциясы ұмтылғандағы шексіз аз функция деп аталады, егер ұмтылғандағы оның шегі нөлге тең болса. Құрдым аз функция

. Құрдым аз функцияның шегі A=0 болғандықтан, болады, онда шектің анықтамасы негізінде, алдыңғы берілген анықтамаға эквивалентті, құрдым аз функцияға төмендегідей анықтама беруге болады.

Анықтама. Кез келген саны үшін барлық x>N сандары үшін теңсіздігі орындалатын N саны табылса, онда f(x) функциясы ұмтылғанда құрдым аз функция деп аталады да деп жазылады.

Теорема 1. Егер және функциялары құрдым аз функциялар болса, онда олардың қолданулары -да құрдым аз функция болады.

Теорема 2. Егер y=f(x) функциясының ұмтылғанда шегі бар болса, онда ол кез келген интервалында шенелген болады.

Теорема 3. Егер y=f(x) функциясының () нөлге тең емес шегі болса, онда функциясы шенелген болады.

Теорема 4.Құрдым аз функцияның шенелген функцияға көбейтіндісі құрдым аз функция болады.

Салдар. Құрдым аз функцияның санға көбейтіндісі құрдым аз функция болады.

Теорема 5.-да құрдым аз f(x) функциясын, шегі нөлге тең емес функциясына () бөлгенде шығатын функция құрдым аз функция болады.

Шексіз аз функция және оның құрдым аз функциямен байланысы.

Анықтама. Кез келген L саны үшін х-тің x>N барлық мәндерінде теңсіздігі орындалатындай бір N санын табуға болса, онда y=f(x) функциясы шексіз үлкен функция деп аталады.

Теорема. Егер -да f(x) функциясы шексіз үлкен функция болса, онда функциясы -да құрдым аз функция болады.

Теорема. Егер f(x) функциясы нөлге айналмайтын -да құрдым аз функция болсын, онда функциясы -да шексіз үлкен функция болады.

Теорема. (Бірінші тамаша шек).Бірінші тамаша шек:

Дәлелдеуі.
Орталық бұрыштың радиандық өлшемі болатын радиусы - бірлік
шеңберді қарастырайық. Мұндағы:

(1)

Суретте
көрсетілгендей үшбұрышының ауданы секторының
ауданынан аспайды, ал өз кезегінде олардың ауданы үшбұрышының
ауданынан кем. Ендеше (1) теңдікті еске ала отырып,

қатынасын аламыз. Енді бұл қатынастың барлық жағын, болғандықтан,
шамасына
бөліп түрлендірейік,

бұл шек аралық функцияның шегі туралы теорема бойынша: теңсіздігі үшін орындалса, онда ұмтылатынын ескеріп, , болатынын көреміз. Осы дәлелденген теңдікті бірінші тамаша шек деп
атайды.


http://webmath.exponenta.ru/s/kiselev1/node18_files/s2image027.png


Cалдарлар:

http://tak-to-ent.net/ebook/75/images/matem/13/image022.gif http://tak-to-ent.net/ebook/75/images/matem/13/image023.gif http://tak-to-ent.net/ebook/75/images/matem/13/image024.gif

http://tak-to-ent.net/ebook/75/images/matem/13/image025.gif http://tak-to-ent.net/ebook/75/images/matem/13/image026.gif http://tak-to-ent.net/ebook/75/images/matem/13/image027.gif

http://tak-to-ent.net/ebook/75/images/matem/13/image028.gif http://tak-to-ent.net/ebook/75/images/matem/13/image029.gif