Функцияның үзіліссіздігі. Үзіліс нүктелері. Оларды классификациялау.


Функцияның үзіліссіздігі.Функцияның нүктедегі үзіліссіздігі ұғымын беру үшін 3 шартты келтіреміз:

1. http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1286.pngфункциясы http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1288.pngнүктесінде анықталған (яғни http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1290.pngмәні бар);

2. http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1292.png( http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image973.pngшамасы http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1288.png-ге ұмтылғанда) болғанда http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1286.pngфункциясының ақырлы шегі http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1295.pngбар;

3. http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1297.pngшегі функцияның http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1299.pngнүктесіндегі мәніне тең: http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1301.png

1−анықтама.Егер http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1303.pngфункциясы келтірілген үш шартты қанағаттандырса, онда оны http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1299.pngнүктесінде үзіліссіз дейді. Функцияның http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1299.pngнүктесіндегі үзіліссіздігінің анықтамасының формуласын былай жазуға болады: http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1305.pngФункция http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1299.pngнүктесінде үзіліссіз болса, онда оның графигін http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1299.pngнүктесі арқылы үзіліссіз сызуға (қарындашты қағаздан алмай) болады. Енді үзіліссіздіктің екінші анықтамасын берейік. http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1299.pngаргументіне http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1307.pngөсімшесін берсек, http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1308.pngфункциясы http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1310.pngөсімшесін алады. Ол http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1312.pngформуласымен анықталады.

2−анықтама.Егер http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1313.pngфункциясы http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1299.pngнүктесінде анықталса және http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1315.pngтеңдігі орындалса, онда ол функцияны http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1299.pngнүктесінде үзіліссіз дейді. Үзіліссіздіктің осы екі анықтамасы өзара эквивалентті. Егер http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1317.pngфункциясы http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1299.pngнүктесінде үзіліссіз болмаса, онда бұл нүкте http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1317.pngфункциясының үзіліс нүктесі деп аталады. Үзіліс нүктесінің екі түрі бар.

Анықтама. y=f(x) функциясы нүктесінде үздіксіз деп аталады, егер:

1) функция нүктесінде және сол нүктені қамтитын оның бір аймағында анықталған болса;

2) нүктесінде функцияның бір жақты шектері бар және олар өзара тең

3) функцияның бір жақты шектері оның осы нүктесіндегі мәніне тең болады

Анықтама. Егер нүктесінде функция үздіксіз болса, онда нүктесі берілген функцияның үздіксіздік нүктесі деп аталады.

Анықтама. Егер нүктесі функцияның анықталу облысында не оның шекарасында жатса және оның үздіксіздік нүктесі болмаса, онда ол f(x) функциясының үзіліс нүктесі деп аталады. Ол жағдайда нүктесінде функция үзілісті деп аталады. Үзіліс нүктелерін екі түрге бөлуге болады:

Анықтама. Егер екі біржақты шектері бар болса, онда f(x) функциясының үзіліс нүктесі І-текті деп аталады.

Анықтама. Егер нүктесінде алынған y=f(x) функцияның біржақты шектерінің кемінде бірі ақырсыз болып, не тіпіті ол шек болмаса, онда сол нүктесі y=f(x) функциясының ІІ-текті үзіліс нүктелері деп аталады.

Егер http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1317.pngфункциясың http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1299.pngнүктесінде оң жақты және сол жақты шектері бар болып, бірақ олар өзара тең болмаса, онда http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1299.pngнүктесі http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1317.pngфункциясының біріншітекті үзіліс нүктесі деп аталады. Егер оң жақты және сол жақты шектердің ең болмағанда біреуі не шексіздікке тең болып, не жоқ болса, онда http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1299.pngнүктесі http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1317.pngфункциясының екіншітекті үзіліс нүктесі деп аталады. Егер http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1324.pngнүктесінде ақырлы оң жақты және сол жақты шектер бар болып, бірақ олар осы нүктедегі функцияның мәніне тең болмаса, онда http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1299.pngнүктесі http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1317.pngфункциясының түзетілетін үзіліс нүктесі деп аталады.

5-мысал. http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1327.pngфункциясы үшін http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1329.pngнүктесі екінші текті үзіліс нүктесі болады, себебі

http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1331.png

http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1333.png

Егер http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1308.pngфункциясы http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1335.pngаралығының әрбір нүктесінде үзіліссіз болса, онда оны http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1335.pngаралығында үзіліссіздейді. Егер http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1308.pngфункциясы http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1335.pngаралығында үзіліссіз болып, ал http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1338.pngнүктесінде оң жақтан (яғни http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1340.png), ал http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1342.pngнүктесінде сол жақтан (яғни http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1344.png) үзіліссіз болса, онда http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1313.pngфункциясын http://ok-t.ru/mylektsiiru/baza1/120277217383.files/image1346.pngкесіндісінде үзіліссіз дейді.