Бір айнымалы функциясының дифференциалдық есептеуі: функцияның туындысы, дифференциалдау ережелері


Туынды ұғымы өзара байланысты екені алдын ала көрінбейтін келесі есептен шығарғанда пайда болды-ол қисыққа жанама жүргізу.

Жанама түралы есеп.(a,b) интервалында анықталған және үзіліссіз функциясының графигін қарастырайық. нүктесі (a,b)интервалының бекітілген нүктесі дейік. Осы интервалдан шықпайтындай етіп, аргументіне өсімшесін берейік. Сонда графиктін оларға сәйкес нүктелерінің координатталары мынадай .

Анықтама. қисығына нүктесінде жүргізілген жанама деп графиктін М нуктесінің нүктесіне ұмтылғандағы (немесе жағдайда) (М) қиюшысының шектік орны (егер ол бар болса) (Т) түзуін атайды.

Егер туындысы бар болса, онда қисығы графигінің нүктесінде (Т) жанамасын жүргізуге болатын дәлелденеді.

Сонда жағдайда (М) (Т), мұндағы мен 0х өсімен сәйкес (М) қиюшысы және (Т) жанамасы жасайтын бұрыштар.

(Р)0х (Р) оу түзулерін жұргізейік. ((Т) жанамасы мен (МР) түзуінің қиылысу нүктесі N делік. (МТ) ұшбұрышынан табатымыз

Сонымен келесі анықтамаға келдік. Егер нүктесінде нақты мәнді шегі бар болса, онда түзуі қисығының нүктесіндегі жанамасы деп аталады.

Демек, жанаманың бұрыштық коэффициенті туындының мәніне тен, мұндағы жанасу нүктесінің абциссасы. графигінен аргументінің өсімшесі ке сәйкес келетін dy дифференциалы мен өсімшесі , жалпы алғанда , тең еместігін көреміз, Дифференциал dy жанама ординатасының өсімшесі де, ал - қимығы нүктесінің ординатасының өсімшесі.

f функциясы I аралығында анықталсын. Егер үшін нақты мәнді шегі бар болса, онда f(x) функциясының нүктесіндегі туындысы дейді де символымен белгілейді.Сонымен .

Туындының анықтамасын берген соң, енді жанаманың анықтамасын қайта береміз. у=f(x) функциясына нүктесінде жүргізілген жанама деп, нүктесі арқылы жүргізілген бұрыштық коэффициенті болатын түзуді айтады. Яғни теңдеуімен берілген түзуді айтады.Туынды табу операциясы функцияны дифференциалдау деп аталады. Функция берілген нүктеде дифференциалданады деп аталады, егер ол сол нүктеде туындысы болса, ол аралықта дифференциалданады деп аталады, егер оның әрбір нүктесінде дифференциалданатын болса.

Теорема. Егер функция нүктеде дифференциалданатын болса, онда ол сол нүктеде үздіксіз болады.

Кейбір жай функциялардың туындысы.

1. Тұрақты санның туындысы нөлге тең.

2. Тәуелсіз айнымалының туындысы бірге тең.

3. (мұндағы n –бүтін оң сан).

Дифференциалдаудың негізгі ережелері.

1-Теорема. Егер функциялары нүктесінде дифференциалданатын болса, онда сол нүктеде функциясы да дифференциалданады, әрі болады.

2-Теорема. Егер функциялары нүктесінде дифференциалданатын болса, онда сол нүктеде функциясы да дифференциалданады, әрі болады.

1-Салдар. Тұрақты көбейткішті туындының таңбасының алдына шығаруға болады.

3-Теорема. Егер функциялары нүктесінде дифференциалданатын болса, және болса, онда сол нүктеде функциясы да дифференциалданады, әрі болады.

Күрделі функцияның туындысы.

Теорема. У х-тің күрделі функциясы болса, яғни y=f(u), u=g(x) немесе

y(x)=f[g(x)] (*) болсын. Егер g(x) және f(x) сәйкес х және u=g(x) нүктелерінде өз аргументтері бойынша дифференциалданатын болсын, онда (*) күрделі функция да х нүктесінде дифференциалданады және оның туындысы формуламен табылады.

Дифференциалдау ережесі1. 2.

3. 4.

Дифференциалдаудың негізгі формулаларының таблицасы.

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10. 11. 12.

13. 14. 15. 16. 17.