Туындының физикалық және геометриялың мағнасы.


Анықтама. функциясы нүктеде дифференциалданушы деп аталады, егер ол осы нүктеде шекті туындыға ие болса.

Енді функцияның дифференциалданушылығымен оның үзіліссіздігінің арасындағы байланысты анықтайық, ол үшін бұл анықтама -ті ажыратамыз.

,

Сондықтан

.

Теорема. Егерфункциясынүктеде дифференциалданушы болса, онда ол бұл нүктеде үзіліссіз болады.

Мысал. функциясы анқталу облысының барлық нүктелерінде үзіліссіз, бірақ ол нүктесінде дифференциалданбайды, себебі .

, ал бұл шек жоқ.

Туындының механикалық мағанасы. Айталықнүкте түзу бойымен қозғалып, уақыт ішінде S(t) жол жүрген болсын (2 сурет).

2 сурет

Онда -ден -ға дейінгі уақыт аралығында жүріп өткен жол

,

жәнеаралықтағы нүктенің орта жылдамдығы болады. Нүктенің уақыт моментіндегі жылдамдығы-дің шегі болады..

Демек, нүктеніңуақыт моментіндегі жылдамдығы жолдың уақыттары туындысы екен. Міне, бұл туындының механикалық мағанасы.

Туындының геометриялық мағанасы.функция графигінің екі және нүктелері арқылы түзу жүргіземіз. Бұл түзу функция графигінің қиюшысы деп аталады. (3 сурет). Оның бұрыштық коэффициенті, яғни өсінің оң бағытымен жасайтын бұрышының тангенсі

. (1)

Мұнда оң да, теріс те мән қабылдауы мүмкін.

Y

B

D

3 сурет

Анықтама. функция графигіне нүктесінде жүргізілген жанама деп нүктеден өтетін қиюшының умтылғандағы шектік жағдайын беретін түзуді айтады.

Басқаша айтқанда, нүктеге жүргізілген -жанама-бұл бұрыштық коэффициенті тең болған нүктеден өтетін түзу.

Егер бар болса, онда (1) теңдіктен

.

Бұл жағдайда функция графигінің нүктесінде жанамасы бар болады.

Сондықтан,функция графигіне нүктеде жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициенті болады. Міне бұл теңдеудің геометриялық мағнасы.

Осы жанаманың теңдеуі мынадай:

Егержоқ болса, онда функция графигіне нүктеде жанама жүргізу мүмкін емес (мысал, функциясың графигіненүктесінде жанама жүргізу мүмкін емес).