Күрделі функцияны дифференциалдау ережесі. Кері функцияның туындысы туралы теорема. Функцияның дифференциалы туралы ұғым.


Күрделі және кері функциялардың туындысы.

Айталық функциясы нүктесінде дифференцианалданатын болсын, , алнүктесінде дифференционалдансын, онда күрделі функция нүктесінде диффереционалданады және оның туындысы мына формуламен есептелінеді .

Мысалдар: -ты есепте. Функцияны былай жазамыз , где . Сондықтан .

1. .

2. Гиперболалық функциялар және олардың туындылары: Гиперболалық синус

функцияның анықталу облысы D=R, мәндер жиыны E=R (4 сурет).

Y

Гиперболалық косинус

анықталу облысы D=R, мәндер жиыны (5 сурет).

Гиперболалық тангенс

анықталу облысы D=R, мәндер жиыны E=(-1,1) (6 сурет).

Y

X

Гиперболалық котангенс

анықталу облысы мәндер жиыны (7 сурет).

Бұл функциялар үшін мына тепе-теңдіктер орынды:

Туындыны есептеу ережелерін қолданып, гиперболалық функциялардың туындыларын есептейік .

Өздеріңіз тексеріңіздер .

Анықтама.Анықталу облысыE және мәндер жиыныфункциясы функциясына кері функция деп аталады, егер және.

координаттар жүйесінде және функциялар бірдей графикке ие болады. және функцияларының графиктері түзуі бойынша симметриялы болады.

Мына функциялар өзара кері функцияларға мысал болады:

1) , мұндағы D=E=R, егер -тақ болса және , егер -жұп болса.

2) , мұндағы .

3) .

4) .

5) .

Теорема.Егер функциясы (a,b) (немесе ) үзіліссіз болса, онда оған кері функцияның болуы үшін функцияның (a,b)-да қатаң монотонды функция болуы, яғни немесе қажетті және жеткілікті.

Теорема.Айталық функциясынүкте төңірегінде үзіліссіз және кері функциясы бар болсын, орындалсын. Онда, егер нүктесінде дифференциалданушы және , онда нүктесінде дифференциалданушы және

.

Бұл теореманың мағнасы (немесе ) функция графигіне жүргізілген жанаманың және өстерімен жасайтын бұрыштарының тангестері өзара кері болады (8 сурет).

Y

Мысалдар:

1. .

Мұнда . .

Тексеріңіздер .

2. .

Функция дифференциалының түсінігі

Функция дифференциалы

Анықтама.Егер функциясының нүктесіндегі өсімшесін мына түрде жазу мүмкін болса, мұндағы -сан, ал - шексіз аз, егер , онда функциясының нүктесіндегі дифференциалы деп аталады (өсімшенің бас бөлігі).

Теорема.функциясының нүктеде дифференциалы болу үшін туындының бар болуы қажетті және жеткілікті, сонымен қатар . ().

Мысал. Айталық y=ax+b, онда , дербес жағдайда . Сондықтан функцияның дифференциалын түрінде белгілейді, ал оның туындысын дифференциалдар қатынасы арқылы жазады

.

Дифференциалдың геометриялық мағанасын анықтайық. болғандықтан . Сондықтан, дифференциал функциясының графигіне нүктесіне жүргізілген жанаманың ординатасы болады. Функция өсімшесі |DB| дифференцил |ВС|-мен шексіз аз шама-ның қосындысына тең. Егер мына теңдікте

,

шексіз аз шаманы ескермесек, онда мына жазықтан есептеу формуласын аламыз , .

D

C

А В

Мысал.-ты жуықтап есепте.

.

Дифференциалды есептеу ережесі.

Айталық және функциялары дифференциалданушы болсын,

1) , мұндағы ссан.

2) ,

3) , егер .

4) Егер функция нүктесінде дифференциалданушы, ал нүктесінде дифференциалданушы болса, онда күрделі функция үшін,

.

Бұл ережені дифференциал формасының инвариаттығы деп атайды. функциясы үшін .