Жоғарғы ретті туындылар мен дифференциалдар. Лейбниц формуласы.


берілген функциясының бірінші немесе бірінші ретті туындысы, ал функцияның өзі нөлінші ретті туынды деп аталады.

Анықтама. Фунуцияның –ші ретті туындысы деп оның (-1)-ші туындысының туындысын айтады, егер олар бар болса , =1,2,3,…

және функциясы -рет дифференциалданушы деп аталады.

Мысал.функциясы берілген.

Бірінші туындысы,

екінші туындысы ,

үшінші туындысы .

Демек,

, .

Бұл функция үшін шексіз рет дифференциалданушы, яғни оның барлық ретті туындылары бар. Егер және функциялары –рет дифференциалданушы болса, онда (), мына ережелер орынды:

1. , .

2. Лейбниц формуласы:

; .

Дәлелдеусіз.

Мысал.Лейбниц формуласымен есепте.

.

Мына теңдіктер, және,орынды болғандықтанегержәне келесі қосылғыштар да нөлге тең, сондықтан

.

Айталық функциясы –рет дифференциалданушы болсын.

Анықтама. Функцияның –ші дифференциалы деп оның ()–ші ретті дифференциалының дифференциалын айтады.

,

мұндағы деп есептеу керек.

Осы дифференциалды есептеу формулаларын келтірейік:

,

,

,

… … … … … … … … … … … … … … …

.

–шы ретті дифференциалдар үшін мына ережелер орынды:

1) , .

2) , .

Тексеру сұрақтары:

1. Туындының анықтамасын келтір. Оның механикалық және геометриялық мағынасы қандай?

2. Логарифмдік дифференциялдаудың ережесін келтір. Мысалдар келтіріңіз.

3. Кері функцияның туындысы туралы теорема. Кері тригонометриялық функцияларды дифференциалдау формулалары.

4. Функцияның дифференциалының анықтамасын келтір. Функцияның дифференциалы тұлғасының инварианттылығының қасиеті нені білдіреді? Жуықтап есептеуде дифференциалдың қолдануы неге негізделген?

5. Жоғарғы ретті туынды мен дифференциалдың анықтамаларын келтіріңіз.