Лопиталь ережесі. Тейлор формуласы, оның қалдың мүшелерінің түрлі формалары.


Тейлор (1685-1731) – английский математик

Теорема Тейлора. 1) Егерf(x) функцияанықталған болып, нүктесіндегі n– ге дейнгі (n ді қоса) барлық ретті туындылары бар болса, онда мына теңдік орындалады

- Бұл формула Тейлор формула деп аталады, мұндағы:

- Тейлор формуласының қалдық мүшесі деп аталады. Оны тағы мына түріндегі белгілейді

Дәлелдеу. f(x) функцияны Pn(x) көпмүше түрінде жазайық нүктесіндегі мына теңдіктер орындалсын

(1)

(2)

коэффициенттерін табу үшін мына жүйені қараймыз және нүктесіндегі туындыларды табамыз.

(3)

…………………….

Ciкоэффициенттерін (2) формуласын қойғанда

Енді қалдық мүшесің қосқанда

f(x) = Pn(x) + Rn+1(x)Теорема дәлелденеді.

Маклорена формуласы

Колин Маклорен (1698-1746) шотландский математик.

Маклорен формуласы деп Тейлора формуласының при болғандағы дербес түрін атайды:

Элементар функцияларды Маклорен қатарға жиктеу керек.

Мысал.f(x) = ex.

f(x) = ex, f(0) = 1, f¢(x) = ex, f¢(0) = 1, …, f(n)(x) = ex, f(n)(0) = 1

Онда:

Мысал. е –ны табу керек.

Жағары формулада

Егер 8 мүшесін алсақ : e = 2,71827876984127003

Егер 10 мүшесін алсақ: e = 2,71828180114638451

Егер 100мүшесін алсақ: e = 2,71828182845904553

Мысал. Функцияf(x) = sinx. Есептейміз

f(x) = sinx; f(0) = 0

f¢(x) = cosx = sin( x + p/2); f¢(0) = 1;

f¢¢(x) = -sinx = sin(x + 2p/2); f¢¢(0) = 0;

f¢¢¢(x) = -cosx = sin(x + 3p/2); f¢¢¢(0)=-1;

…………………………………………

f(n)(x) = sin(x + pn/2); f(n)(0) = sin(pn/2);

f(n+1)(x) = sin(x + (n + 1)p/2); f(n+1)(e) = sin(e + (n + 1)p/2);

Онда:

Мысал. Функция f(x) = cosx. Мол сияқты

Мысал. Функция f(x) = (1 + x)a.(a -нақты сан). Есептейміз

…………………………………………………..

Онда:

Егер мына формулада a = n, где n-натурал сан және f(n+1)(x)=0, то Rn+1 = 0, онда

Бұл бином Ньютон формуласы.

Мысал. Есепте sin200.

200радиан түрінде жазамыз: 200 = p/9.

Тейлор формуласына қойғанда:

Мысал. Есепте sin28013¢15¢¢.

10 = ; 280;

; ;

; ;

рад

sinx = .

Сравнивая полученный результат с более точным значением синуса этого угла,

sin= 0,472869017612759812,

видим, что даже при ограничении всего тремя членами разложения, точность составила 0,000002, что более чем достаточно для большинства практических технических задач.

Мысал. Функция f(x) = ln(1 + x). Есептейміз

f(x) = ln(1 + x); f(0) = 0;

f¢(x) = ;

………………………………………

Онда

Мысал. Есепте ln1,5. 0,0003 дәлілдекпен

ln1,5 = 0,405465108108164381

Лопиталь ережесі

Теорема.Айталық және функциялары нүктесінің қандай болса да бір ортасынан тесілген маңайында, яғни барлық үшін анықталған және дифференциалданатын функциялар болсын. Бұған қоса, барлық үшін және . Сонда,егер шегі бар болса, онда шегі де бар болады және мына теңдік орындалады.

=.

Дәлелдеу.Теоремының шартты бойынша Екі және функциялары аралығында, үзіліссіз және оның әрбір ішкі нүктесінде екеуді дифференциалданады, сонымен берге .

Демек бұл кесіндіде және функцияларына Коши теоремасын қолдануға болады. Олай болса, осы кесіндісінің арасында с нүктесі табылып мына теңдік орындалады . Ал болғандықтан, онда және теңдікті былай жазуға болады .

Теорема дәлелденді.

түріндегі анықталмағандықтарды ашу (есептеу)

Айталық және функциялары нүктесінің қандай болса да бір ортасынан тесілген маңайында, яғни барлық үшін анықталған және дифференциалданатын функциялар болсын. Бұған қоса, барлық үшін ашегі де бар болады және мына теңдік орындалады.

=.

түріндегі анықталмағандықтарды ашу (есептеу)

Бұл ереже немесе анықталмағандықтары есептеуге мүмкіндік береді.

Теорема.Айталық және функцияларының нүктесінің төңірегінде туындылары бар, ал нүктесінің өзі осы төңірекке енбеді де мүмкін және осы төңіректе енбеуі де мүмкін және осы төңіректе, болсын. Онда, егер , шек бар болса, онда шек бар болады және=.

Осы сияқты тұжырымдар , , , , жағдайларда орынды. -тер шексіз үлкен шамалар болған жағдайда орынды.

Лопиталь ережесін анықталмағандықтардың мына түрлеріне де қолдануға болады тек қана оларды мынанемесетүрлерге келтіру керек.

1. Егер анықталмағандықта ш. а., ал ш.ү. шамалар болса, онда

( ) немесе ( ).

Одан кейін Лопиталь ережесін қолданамыз.

Мысал.

.

2. Екі ш. ү. функциялар айырмасытүрі былай түрледіріледі

бұл өрнекке Лопиталь ережесі қолданылады.

3. Функция немесе типетегі анықталмағандық болса, онда

,

түрге келтіріп есептелінеді.

Егер – сан, онда .

Егер = , онда.

Егер , онда.

Тексеру сұрақтары:

.

1. Ролл теоремасы және оның геометриялық маңынасы

2. Лагранж теоремасы және оның геометриялық маңынасы

Әдебиеттер:

[2] Тарау 4 § 4.1-4.8 ,. 151-178 беттер

[19] 3.3-3.6 ,-209 беттер

[18] §10.1-10.4 , 265-273 беттер

[20] §10.1-10.4 , 184-192 беттер