Функцияны зерттеу және оның графигін құру. Функцияның монотондық белгілері, экстремум нүктелерін іздеу.


Анықтама. фуекциясы (a,b) интервалында қатаң өсетін (кемитін) функция дейміз,егер үшін (немесе ) орындалса.

Келесі теорема функцияның өсу және кемею аралықтарын оның туындысы арқылы табуға мүмкіндік береді.

Теорема. Айталық (a,b)-да дифференциалданушы болсын:

1. Егер (a,b)-да монотон өссе, онда , .

2. Егер, , ондаf(x) (a,b)-да монотон өседі.

Осы сияқты теорема монотон кемитін функция үшін орынды. Демек, өсу немесе кемею интервалында функция туындысы таңбасын өзгертпейді

Мысал.Мына функцияның өсу және кемию аралықтарын тап:

y = x3 – 3x2 + 1.

Ол үшін функция туындысының таңбасының тұрақтылық интервалдарын анықтаймыз

.

Бұл квадрат үшмүшеліктің түбірлері x1=0, x2=2. Сондықтан, егер , демек y = x3 – 3x2 + 1 функция бұл аралықта кемиді.

Егер , f'(x)>0, демек бұл аралықтарда функция өседі.

f(0)=1 и f(+2)= - 3 болғандықтан, функция графигінің эскизі мынандай болады (15 сурет).

Енді функцияның экстремальдық нүктелерінің анықтамасын еске түсірейік.

Анықтама.Егер x0 нүктесінде f(x0) үзіліссіз, ал y=f(x) функцияның туындысы нөлге тең немесе жоқ болса, онда нүкте функцияның күдікті нүктесі деп аталады.

Теорема (эксремумның қажеттілік шарты).Айталық x0 y=f(x) функцияның экстремальдық нүктесі болсын, онда x0 бұл функцияның күдікті нүктесі болады.

Мысал. x0=0 нүкте y = x3 функциясының күдікті нүктесі болады, себебі ол f '(x)=3x2=0 теңдеудің шешімі.

Бірақ бұл функцияның экстремальдық нүктесі жоқ, себебі y=x3 функция бүкіл сандар өсінде қатаң өспелі.

Теорема (экстремумнің жеткіліктілік шарты). Айталық, y=f(x) функциясы x0 күдікті нүктенің U(x0) төңірігінде үзіліссіз және U(x0) {x0}-де дифференциалданушы болсын. Онда

1) егер U(x0)-деf ' (x)>0 х0болғанда, жәнеf '(x)<0 x>x0 болғанда, онда x0 ¾максимум нүктесі;

2) егер U(x0)-деf ' (x)<0 х0болғанда, және и f '(x)>0 x>x0 болғанда, онда x0 ¾максимум нүктесі;

3) егер U(x0)-де f ' (x)>0 немесе f '(x)<0 x¹ x0 болғанда, онда x0¾нүктеде экстремум жоқ.

Демек, функцияның экстремальдық нүктелерін анықтау үшін оның барлық күдікті нүктелерін табу керек және олардың араларындағы интервалдарда туындының таңбаларын анықтаймыз. Одан кейін жеткіліктілік шартты қолданып функцияның экстремумдарын табамыз. Егер туынды таңбасын «плюс»-тен «минус»-ке ауыстырса максимум, ал «минус»-тен «плюс»-ке ауыстырса минимум мән болады және функция таңбасы өзгермесе экстримум жоқ.

Мысал.функцияны экстримумге зерттеп, өсу және кемею аралықтарын анықта.

Функция туындысы

x1=0 нүктесінде жоқ.

теңдеуден екінші күдікті нүктесін табамыз. Интервалдар тәсілімен

f '(x)-тің таңбаларын анықтаймыз (16 сурет).

Функция барлық нүктелерде үзіліссіз, жеткіліктілік шарт бойынша x1=0 максимум нүктесі, ал минимум нүктесі. (–¥, 0) және интервалдарда функция өседі, ал интервалда кемиді Зерттеу нәтижелерін таблицаға жазамыз:

x

(–¥,0)

0

(0,)

(, +¥)

f '(x)

+

не $

0

+

f (x)

0

Max

min

Енді функция графигінің эскизін, х®0 f '(x) шексіз үлкен шама болатынын ескере отырып саламыз (17 сурет).

Функцияның екінші ретті туындысы қолданылатын экстремумның тағы бір шартын келтірейік.

Теорема. Айталық, y=f(x) функциясы х0 күдікті нүкте төңірегінде дифференциалданатын және f''(x0) бар болсын. Онда егер f ''(x0)>0 ондаx0 - минимум нүкте, ал гегер f ''(x0)<0, онда x0 - максимум нүкте.

Мысал.y=2sinx+cos2x функцияның экстремум нүктелерін тап.

Функция периоды болғандықтан оны [0,2] кесіндіде зерттесек жеткілікті. Күдікті нүктклерді мына теңдеуден табамыз.

f ' (x)=2cosx–2sin2x=0Þ cosx– 2sinxcosx = 0 Þ cosx(1 – 2sinx)=0.

cosx=0 теңдеуден , , ал мына теңдеуден 1 – 2sinx=0 Þ, .

Екінші туындыны табамыз f '' (x)=–2sinx–4cos2x.

, , , .

Демек, , нүктелер максимум нүктелері, ал , нүктелерде максимум (kÎZ). Бұл функцияның графигі 18 суретте.Функцияны экстремумге зерттеу жәрдемінде оның кесіндідегі ең үлкен және ең кіші мәндерін табуға болады. кесіндісінің шеткі нүктелерінде немесе максимум нүктелерінің біреуінде болатындықтан, оны табу үшін функцияны [a,b] –дағы барлық максимумдаррын, f(a), f(b) табамыз, содан кейін осы сандардың ең үлкенін аламыз:

= max{f(a), f(b), f(xi): xiÎ(a,b) максимум нүктелер}.


Дәл осылай

= min{f(a), f(b), f(xi): xiÎ(a,b) минимум нүктелер}.

Мысал.f(x)=x3–3x+3функцияны и мәндерін тап.

(x)=3x2 – 3 борлық х–тер үшін бар. 3х2 – 3=0 теңдеуден нүктелерді табамыз х1,2=±1, х1,2Î[–2,3], f ''(x)=6x, , х1=1 – максимум нүктесі.

f '' (–1)= –6<0 Þx2= –1 максимум нүктесі. Сондықтан

f(-2)=1, f(3)=27-9+3=21, f(-1)=-1+3+3=5, f(1)=1-3+3=1

= max{f (-2), f (3), f (-1)} = max{1,21,5} = 21.

= min{f (-2), f (3), f (1)} = min{1,21,1} = 1.