Графиктің дөңестік бағыттары, иілу нүктелері, графиктің асимптоталары.


Айталық y=f (x) функциясы (a,b) аралығында дифференционалданушы болсын.

Анықтама. y=f (x) функция графигі (a,b) интервалында дөңес (ойыс)дейміз, егер қисықтың барлық нүктелері қисықа жүргізілген жанамалардан төмен (жоғары) жатса (19 сурет).

Теорема.Айталық y=f(x) функциясы (a,b)-да екі рет дифференционалданатын болсын. Бұл функция осы интервалда ойыс (дөңес) болуы үшін f ''(x)³0 (f ''(x) 0) "xÎ(a,b) шарттың орындалуы қажетті және жеткілікті.

1) Айталық, y = f (x) (a,b)-да ойыс болсын, онда yф-yk ³ 0 яғни f ''(c1) ³ 0. хx0 шекке өтсек, f ''(x)-тің үзіліссіздігінен

2) Айталық, f '' (x) ³0, "xÎ(a,b), онда yф–yk³0, "x0,хÎ(a,b), яғни функция ойыс.

Дәл осылай функция дөңес болған жағдайды қарастырыңыздар.

Мысал.y=1/x гипербола (0, +¥) интервалда ойыс, себебі,


"x0 (0, +¥), (–¥, 0) интервалда дөңес, себебі, "xÎ (–¥, 0).

Анықтама.Берілгенy = f (x) функцияның иілу нүктесі деп,х0 нүктесі үшін, төңірегі табылып, -тер үшін функция графигі жанаманың бір жағына, ал , -тер үшін екінші жағына орналасатын нүктесін айтамыз. Берілген y = f (x) функцияның иілу нүктесі деп, оның графигінің дөңестен ойысқа (немесе, ойыстан дөңеске) ауысатын нүктесін айтамыз (20 сурет).


а),б)x0-иілу нүктесі, в)x1-иілу нүктесі емес


Теорема (иілу нүктесінің бар болуының қажеттілік шарты)

Айталық, y=f(x) функциясы екі рет дифференциалданушы U(x0)\{x0}-да және х0 нүктесінде үзіліссіз болсын. Онда нүкте иілу нүктесі болса, онда немесе екінші туынды жоқ.

Егер х0 нүктесінде f (x0) үзіліссіз, ал f "(x0)=0 немесе f "(x0) жоқ болса, нүктені екінші ретті күдікті нүкте деп атаймыз.

Мысал. y=x4 функциясы үшін x0 нүкте екінші ретті күдікті нүкте болады, себебі f ''(x)=12x2 және f ''(0)=0. Бірақ бұл нүкте иілу нүкте болмайды, себебі f ''(x)³0 барлық x-тер үшін.

Теорема (иілу нүктенің бар болуының жеткіліктілік шарты). Айталық, y=f (x) функциясы U(x0)\{x0}-да екі рет дифференцианалданатын болса және x0 нүктесінде үзіліссіз, мұнда x0 екінші ретті күдікті нүкте. Онда егер x0 және x>x0-дерде f ''(x)-тің таңбалары әр түрлі болса x0 иілу нүктесі. Егер x0 және x>x0-дерде f ''(x)-тің таңбалары әр түрлі болса x0 иілу нүктесі болмайды.

Мысал.функциясының дөңестік, ойықтық аралықтарын және иілу нүктелерін тап.

Туындыларын табамыз

х0=0 нүктесінде жоқ, ал басқа нүктелерде , сондықтан екінші ретті күдікті нүкте. Барлық хÎ(0,+¥) үшін f ''(x)<0, демек х0=0 иілу нүктесі (-¥, 0) интервалында функциясының графигі ойыс, ал (0,+¥) аралығында – дөңес (21 сурет).

y=f(x) функция графигінің асимптотасы (қысқаша функция асимптотасы) екі түрлі:

1) вертикаль асимптоталар, Оy өсіне параллель түзулер ( х=х0 теңдеуі).

2) көлбеу асимптоталар, Оy өсіне параллель емес түзулер, олардың теңдеулеріy=kx+b түрінде болады.

Функцияның вертикаль асимптоталары шексіз көп болуы да мүмкін, ол көлбеу асимптоталары екіден көп болмайды: оң жіне сол.


Функция графигінің асимптоталары

Анықтама. L түзуі k қисығы үшін асимптота деп аталады, егер k қисығындағы нүктеден L түзуіне дейінгі арақашықтықтың M шексіздікке ұмтылғанда нөлге ұмтылса (22 сурет).


Мысалдар:

1. y=x2функцияның асимптоталары жоқ.

2. y=tgx функцияның шексіз көп вертикаль асимптоталары бар:, және көлбеу асиптотасы жоқ.

3. y=1/x функциясыныңx=0 вертикаль асимптотасы бар жәнеy=0 көлбеу асимптота.

4. y=|x| функциясының y= –x сол көлбеу асимптотасы және y=x оң көлбеу асимптотасы бар.

Теорема (вертикаль асимптота туралы).х=х0түзуі y=f (x) функциясының вертикаль асимптотасы болады, егер хх0 – немесехх0+ ұмтылғанда бұл функция шексіз үлкен болса.

Мысал. функциясының вертикаль асимтоталарын тап.


Берілген функцияның үзіліс нүктелері: х1= –1, x2= 1.

, .

Демек функцияның екіх= –1 және x=1 вертикаль асимптоталары ( 23 сурет).

Теорема (көлбеу асимптота туралы). y=kx+b түзуі y=f (x) функциясының оң (сол) асимптотасы болуы үшін мына шектердің бар болуы қажетті және жеткілікті

и . (5.3)

Мысал. гиперболаның асимптоталарын тап.

Бұл гипербола екі функциялар графигінен турады: .

функциясын қарастырайық. Оң асимптота:

==

=

.

Демек, оң асимптота теңдеуі:


Дәл осылай сол асимптота: .