Функцияны толық зерттеу.


Функциясын зерттеу және оның графигін салу

y=f (x) функциясын зерттеу және оның графигін сызу мына схемамен жүргізген жөн.

1. Функцияның анықталу облысын табу. Жұп, тақтығын, периодтығын анықтау.Функция графигінің координаттар өсімен қиылысу нүктелерін табу.

2. Функцияны үзіліссіздікке зерттеу. Аргумент анықталу облысының шекараларына және үзіліс нүктелеріне ұмтылғандағы шегін есептеу.

3. Асимптоталарын табу.

4. Туындысыf'(x)-ті және оның таңбаларын анықтау. Өсу, кему интервалдарын және экстремумдарын табу.

5. Екінші туындысы f ''(x) және оның таңбаларын анықтау. Дөңестік, ойыстық интервалдарын және иілу нүктелерін табу.

6. Барлық табылған үзіліс нүктелерін, күдікті нүктелерді және олардың арасындағы интервалдарды кестеге енгізу. Әрбір интервалдарда функцияның қалай өзгеретінін көрсету керек.

7. Функция асимптоталарын ескере отырып және кестедегі мәндерін ескеріп графигін сызу керек.

Мысал.функцияны зертте және графигін тұрғыз.

1. Функцияның анықталу облысы D=(-¥,0) È (0, ¥). Функция графигі координаттар өстерімен қиылыспайды, себебі х=0 анықталмаған және f(x)>0"xÎD. Функция тақ та, жұп та және периодты емес.

2. Функция анықталу облысында үзіліссіз, х0=0 – оның үзіліс нүктесі.

Демек, х=0 – түзуі вертикаль асимптота

3. , . Сондықтанy=1 түзуі функцияның оң және сол жақ асимптоталары.

4.
Функцияның таңбалары 25 суретте келтірілген.


Сондықтан (-¥,0) и (0,¥) аралықтарда функция кемиді.

Күдікті нүктелері және экстремумдері жоқ.

f ''(x)- таңбалары 26 суретте көрсетілген.



интервалында функция ойыс, ал , интервалында дөңес.

Екінші ретті күдікті нүкте функциясының иілу нүктесі.

6.

X

(-¥,-)

-

(-,0 )

0

(0, +¥)

f '(x)

¾

¾

¾

не $

¾

f ''(x)

¾

0

+

не $

+

f (x)

не $

Асимптоталарды және кестені ескере отырып функция графигін тұрғызамыз (26 сурет).


Тексеру сұрақтары:

1. Функцияның экстремум нүктелерінің анықтамасын келтіріңіз. Функция экстремумын табудың екі ережесі.

2. Функцияның экстремумын бірінші туынды арқылы табу.

3. Функцияның экстремумын екінші туынды арқылы табу

4. Иілу нүктесін табу.

5. Функцияның графигінің асимптотасын табу.

6. Функцияны зерттеудің жалпы сұлбасын және графигін салуды келтіріңіз.

7. Қисықтықтың дөңгелегі және центірі, жазық сызықтың эволютасы және эвольвентасы деп нені айтады?

8.Қисықтың иілуі.

Әдебиеттер:

Негізгі [2] Тарау 4, § 4.17-4.23 , 178-203 беттер

[19] 3.7 , 209-219 беттер